10. Условия монотонности и постоянства функции.

Условие (нестрогой) монотонности функции на интервале. Пусть функция имеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция была монотонно возрастающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия  для . Для того, чтобы функция  была монотонно убывающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия  для .

Док-во. Необходимость. Если  f(x) монотонно возрастает, то для любых , при  выполняется .

Достаточность. Пусть  для , . По формуле конечных приращений Лагранжа , т.е.  монотонно возрастает на .

  Случай монотонного убывания рассматривается аналогично.

 В случае, рассмотренном в Теор.8.2.1, мы не исключаем для функции   возможность оставаться постоянной на некотором подынтервале  ( и, как следствие, для её производной быть равной нулю на этом подынтервале). Если эту возможность исключить, получим условия строгой монотонности функции на интервале:

Теор.8.2.2. Условие строгого возрастания функции на интервале. Пусть функция имеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция строго возрастала на интервале , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

 для ;

  не обращается тождественно в нуль ни на каком подынтервале этого интервала.

Док-во. Необходимость. Если f(x) строго возрастает, то, по теор.8.2.1   для ; при этом  не обращается тождественно в нуль ни на каком подынтервале этого интервала, так как в этом случае по теор.8.1  была бы постоянной на этом подынтервале, что противоречит условию строгого возрастания.

Достаточность. Если выполняются условия теоремы, то, по теор.8.2.1, f(x) не убывает. Предположим, что для двух точек и  интервала значения функции равны: . Тогда, вследствие неубывания f(x), для   , т.е.  постоянна на  на этом интервале, что противоречит второму условию теоремы.

  Случай строгого убывания рассматривается аналогично

11. Понятие первообразной. Свойства и примеры.

Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Пример. Найти первообразную функции , значение которой равно единице при х = 1.

Решение.

Мы знаем из дифференциального исчисления, что (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом, . По второму свойству . То есть, имеем множество первообразных . При х = 1 получим значение . По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1. Искомая первообразная примет вид .

Пример Найти неопределенный интеграл и результат проверить дифференцированием.

Решение.

По формуле синуса двойного угла из тригонометрии , поэтому

Из таблицы производных для тригонометрических функций имеем

То есть,

По третьему свойству неопределенного интеграла можем записать

Обращаясь ко второму свойству, получим .

Следовательно,

Проверка.

Для проверки результата продифференцируем полученное выражение:

В итоге получили подынтегральную функцию, значит, интегрирование выполнено правильно. В последнем переходе была использована формула синуса двойного угла.

Теорема о структуре:

Пусть - некоторая первообразная для на . Тогда множество всех первообразных для на имеет вид .

Доказательство:

– первообразная для функции

2) Вычтем одно из другого

Напомним таблицу производных, запишем ее еще в виде дифференциалов.

Свойства первообразной

Первообразная суммы равна сумме первообразных

Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции является непрерывность на этом отрезке

Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу

У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.