14.1. Определение евклидова пространства и его примеры

Определение 14.1. Вещественное линейное пространство L называется евклидовым, если в нём определена операция скалярного умножения: любым двум элементам x, yÎL сопоставлено вещественное число a = (x, y) , удовлетворяющее следующим требованиям, каковы бы ни были элементы x, y, zÎL и число aÎR:

1. (x, y)= (y, x) ;

2. (x + y, z) = ((x, z) + (y, z));

3. (ax, y)= (x,ay)= a(x, y) ;

4. (x, x)> 0 для всех x ¹ q ;

5. (x, x)= 0 , если x = q .

Любое подпространство L¢ Í L - также является евклидовым пространством, так как для его элементов определено то же

самое скалярное умножение. Аксиомы 1-5 утверждают в совокупности, что скалярное умножение элементов x, yÎL есть (2-3) билинейная функция b(x, y), симметричная (1) и положительно определённая (4-5).

Поскольку симметричная билинейная функция однозначно определяется соответствующей квадратичной формой, мы можем ввести второе определение евклидова пространства, эквивалентное первому.     

§ 7. Ортонормированный базис

Базис любого конечномерного подпространства   в унитарном или евклидовом пространстве   является невырожденным рядом векторов и потому согласно теореме 2 предыдущего параграфа может быть проортогонализирован и пронормирован. Таким образом, в любом конечномерном подпространстве   (и, в частности, во всем пространстве  , если оно конечномерно) существует ортонормированный базис.

Пусть   – ортонормированный базис пространства  . Обозначим через   координаты произвольного вектора   в этом базисе:

Умножая обе части этого равенства справа на   и учитывая ортонормированность базиса, легко найдем:

,

т. е. в ортонормированном базисе координата вектора равна скалярному произведению его на соответствующий базисный орт

.                    (41)

Пусть   и   суть соответственно координаты одного и того же вектора   в двух различных ортонормированных базисах   и   унитарного пространства  . Формулы преобразования координат имеют вид

.                       (42)

При этом коэффициенты  , образующие  -й столбец матрицы  , являются, как нетрудно видеть, координатами вектора   в базисе  . Поэтому, записывая в координатах [см. (10)] условия ортонормированности базиса  , получим соотношения

                (43)

Преобразование (42), у которого коэффициенты удовлетворяют условию (43), называется унитарным, а соответствующая матрица   – унитарной матрицей. Таким образом, в  -мерном унитарном пространстве переход от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному осуществляется при помощи унитарного преобразования координат.

Пусть дано  -мерное евклидово пространство  . Переход от одного ортонормированного базиса в   к другому осуществляется при помощи преобразования координат

,                       (44)

коэффициенты которого связаны между собой соотношениями

.                    (45)

Такое преобразование координат называется ортогональным, а соответствующая матрица   – ортогональной матрицей.

Отметим интересную матричную запись процесса ортогонализации. Пусть   – произвольная неособенная матрица   с комплексными элементами. Рассмотрим унитарное пространство   с ортонормированным базисом   и определим линейно независимые векторы   равенством

.

Подвергнем векторы   процессу ортогонализации. Полученный ортонормированный базис в   обозначим через  . Пусть при этом

Тогда ,т. е.

где     – некоторые комплексные числа. Полагая   при    , будем иметь

. Переходя здесь к координатам и вводя верхнюю треугольную матрицу   и унитарную матрицу  , получим:

,или .                     (*)

Согласно этой формуле произвольная неособенная матрица   представима в виде произведения унитарной матрицы   на верхнюю треугольную  .

Так как процесс ортогонализации однозначно определяет векторы   с точностью до скалярных множителей    , то в формуле множители   и   определяются однозначно с точностью до диагонального множителя  :

. В этом можно убедиться и непосредственно.

Замечание 1. Если   – вещественная матрица, то в формуле (*) множители   и   можно выбрать вещественными. В этом случае   – ортогональная матрица.

Замечание 2. Формула (*) сохраняет свою силу и для особенной матрицы    . В этом можно убедиться, полагая  , где    .

Тогда    . Выделяя из последовательности   сходящуюся подпоследовательность     и переходя к пределу, из равенства   при  , получим искомое разложение  . Однако в случае   множители U и C уже не определяются однозначно с точностью до диагонального множителя  .

Замечание 3. Вместо (*) можно получить формулу

A=DW,                   (**)

Где D – нижняя треугольная, a  W – унитарная матрица. Действительно, применяя установленную ранее формулу (*) к транспонированной матрице A’

и полагая  , получим (**).

 

Квадратичной формой   от n неизвестных   называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных. Обозначая коэффициент при   через  , а при произведении     – через  , квадратичную форму Q можно представить в виде

       .

Симметричная матрица   называется матрицей квадратичной формы Q.

Пример.  Написать матрицу квадратичной формы

.

Здесь 

Следовательно,

В векторно-матричной форме квадратичная форма имеет вид

A , где  Если в квадратичной форме  А  неизвестные подвергнуть линейному преобразованию  , где  ,

получится квадратичная форма   с матрицей  . Матрица S называется матрицей линейного преобразования неизвестных. Если S – невырожденная матрица, то линейное преобразование неизвестных также называется невырожденным.

Рангом квадратичной формы  А  называется ранг матрицы А. Ранг квадратичной формы не изменяется при невырожденных преобразованиях неизвестных.

Для каждой квадратичной формы  А  можно подобрать такое линейное преобразование неизвестных   с ортогональной матрицей S (квадратная матрица S называется ортогональной, если  ), что матрица квадратичной формы   будет диагональной, т. е. квадратичная форма приводится к сумме квадратов

           .  (8.1)

Закон инерции  квадратичных  форм.  Приводя квадратичную форму к сумме квадратов разными способами, мы будем получать в формуле (8.1) разные коэффициенты. Однако существует следующее важное обстоятельство (закон инерции квадратичных форм): если квадратичная форма приводится к сумме квадратов в двух разных базисах, то число членов с положительными коэффициентами, так же как и число членов с отрицательными коэффициентами, в обоих случаях одно и то же. Легко увидеть, что сумма   равна рангу   квадратичной формы  А . Разность   называется сигнатурой квадратичной формы  А .

Квадратичная форма  А  называется:

1) положительно(отрицательно)-определенной, если для любого ненулевого   выполняется неравенство  А  > 0 ( А  < 0);

2знакопеременной, если существуют такие   и  , что  А  > 0  А  < 0;

3) положительно(отрицательно)-полуопределенной, или квазизнакоопределенной, если для всех    А  ³ 0 ( А  £ 0), но имеется отличный от нуля вектор  , для которого  А  = 0.

Ясно, что положительно-определенная квадратичная форма приводится к сумме квадратов с положительными коэффициентами, а положительно-полуопределенная форма – с неотрицательными коэффициентами. Важным условием положительной определенности квадратичной формы является следующий критерий (критерий Сильвестра).

Для того чтобы квадратичная форма  А  была положительно-определенной, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные, или угловые, миноры

матрицы   Теперь нетрудно найти и условия отрицательной определенности квадратичной формы. Для того чтобы квадратичная форма  А  была отрицательно-определенной необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры нечетного порядка были отрицательны, а все главные миноры четного порядка – положительны.

Теорема 8.1. Квадратичная форма   положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы Аположительны (отрицательны).

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

1. Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда a=c; b=d

2. Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число a+c+i(b+d)

3. Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число ac-bd+i(ad+bc)

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно, 

Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается  . Мы установили, что  , а именно 

В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i3 = 3i. Чисто мнимое число i1 = 1i = i обладает удивительным свойством: 

Таким образом,

С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства   то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле, 

то есть как раз получается нужная формула.

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором 

 величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Если число z = a + bi, то число   называется комплексно сопряжённым с числом z.

Комплексно сопряжённое число обозначается   Для этого числа справедливы соотношения: 

Заметим, что последнее соотношение сводит операцию деления комплексных чисел к умножению   и последующему делению на действительное число