Понятие интегральной суммы

   Пусть на отрезке [а, b] задана неотрицательная функция у = f (x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (x), прямыми х = a, x = b и осью абсцисс у = 0.    При решении вышеприведённых задач наметился общий подход к решению этих задач. Введем в рассмотрение ломаную линию, которая расположена достаточно близко к кривой у = f (x) на [a, b] (см. рисунок 1). Фигура под ломаной состоит из прямоугольников, и ее площадь S_n, равная сумме площадей этих прямоугольников, может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y = f(x), то справедливо приближенное равенство S ≈ S_n. Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе ломаная к исходной кривой. Поэтому в качестве искомой площади S можно взять предел площади ступенчатой фигуры S_n в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.    Пусть на отрезке [а, b] заданна функция у = f(x). Разобьем отрезок [а, b] на n элементарных отрезков точками x₀, x₁,…, x_n:a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n = b. На каждом отрезке [x_{i - 1}, x_i] разбиения выберем некоторую точку ξ _i и положим Δ x_i = x_i - x_{i - 1}, где i = 1, 2,…, n. Сумму вида

будем называть интегральной суммой для функции у = f(x) на [а, b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [а, b] точками x₀, x₁,…, x_n, так и от выбора точек ξ₁, ξ₂, … ξ_n на каждом из отрезков разбиения [x _{i - 1}, x_i], i = 1, 2, …, n.

Определение определённого интеграла

   Если существует конечный предел I интегральной суммы при λ → 0, и он не зависит от способа выбора точек ξ _i, способа разбиения отрезка, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x)по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:

,

или

.

В этом случае функция f (x) называется интегрируемой на [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования. Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла

,

поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы. Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы различны: в то время как

представляет семейство функций, определённый интеграл

Свойства определённых интегралов

1. Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = f (x), осью абсцисс, и прямыми х = а, х = b. Если нижний и верхний пределы интегрирования поменять местами, то значение определённого интеграла изменится на противоположное

.

   Доказательство.

.

2. Если промежуток интегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в отрезок, площадь которого равна нулю

.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

,

где С — некоторое число.    Доказательство.

4. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

,

Это свойство остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.    Доказательство.

5. Если промежуток интегрирования разбит на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по каждой части.

.

   Доказательство. Пусть а < с < b и функция f (x) неотрицательна на [a, b]. Согласно геометрическому свойству определенного интеграла , есть площади соответствующих криволинейных трапеций. Тогда при сделанных предположениях имеем равенство между площадями S = S ₁ + S ₂.

6. Если на отрезке [a, b], где а < b, имеет место неравенство 0 ≤ f (x) ≤ g (x), то

.

   Обе части неравенства можно проинтегрировать, при этом смысл неравенства остаётся прежним.    Теорема о среднем. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], где а < b, то найдется такое значение c  [a, b], что

.

   По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения х  [a, b] вверны неравенства m ≤ f(x) ≤ M, где m и М — наименьшее и наибольшее значения функции на [a, b]. Тогда,

Функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями. Поэтому, в частности, найдется такое число с  [a, b], что

,

что и требовалось доказать.    Геометрический смысл теоремы о среднем. Пусть f (x) ≥ 0 на [a, b]. По теореме о среднем найдется такая точка, из отрезка [a, b], что площадь под кривой y = f(x) на отрезке [a, b] равна площади прямоугольника со сторонами f (с) и (b - а).

Билет№106. Геометрический смысл определенного интеграла.

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции .

Вычисление площади криволинейной трапеции.

Билет№107.Интеграл с переменным верхним пределом.

Интеграл с переменным верхним пределом

Рассмотрим функцию , заданную на отрезке , и предположим, что она интегрируема на отрезке . Тогда при любом эта функция будет интегрируема на отрезке и, следовательно, функция

определена при всех . При мы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, что для любой функции и точки из её области определения. Итак, функция равняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции , не обязательно непрерывной.

        Теорема 3.11   Функция , определённая выше, непрерывна при всех для любой интегрируемой функции .

        Доказательство.     Заметим, что если функция положительна, то значение интерпретируется как площадь под графиком , лежащая над отрезком . Если дать приращение , то площадь получит приращение в виде площади полоски, лежащей над отрезком (см. рис.).

Рис.3.4.

Эта площадь, вследствие ограниченности интегрируемой функции, мала, если приращение мало; это и означает непрерывность функции в точке .

Билет № 108. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона Лейбница.

11.3.1. Интеграл с переменным верхним пределом. Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой t, а буквой x обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x) своего верхнего предела: . Легко доказать, что если f(t) интегрируема, то Ф(x) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема: Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и . Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе. Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение . Тогда , где c - точка, лежащая между x и ( существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом (c- точка, расположенная между x и ). Так как f(t) непрерывна в точке t = x, то . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.

Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция f(x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

11.3.2. Формула Ньютона-Лейбница. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то . Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно, . Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: . Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

Билет №109. Замена переменной интегрирования в определенном интеграле.

Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

2. ,

3. функция непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда .

Док-во. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.

При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла. Пример:

.

Билет№ 110. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то . Док-во. Интегрируем равенство в пределах от a до b: . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство. Пример:

Билет№111. Геометрические и физические приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции, вычисление площади сектора, вычисление длины дуги плоской фигуры, вычисление объема тел вращения, вычисление пути, пройденного материальной точкой.

Вычисление площадей криволинейных трапеций

Криволинейной трапецией называется плоская фигура ограниченная линиями x = a, x = b, y = 0, y = f(x).

Примеры криволинейных трапеций

Вычисление длины дуги плоской кривой Пусть функция f(x) непрерывно дифференцируема на [a,b], тогда длина дуги кривой на указанном промежутке вычисляется по формуле: . (4.7) Если кривая гладкая и задана параметрически, то длина дуги этой кривой при вычисляется по формуле: . (4.8) Если гладкая кривая задана в полярных координатах и , то длина ее дуги равна . (4.9) Пример 47. Вычислить длину дуги развертки окружности . Решение. В нашем случае кривая задана параметрически. Воспользуемся формулой (4.8), предварительно находим производные и . (ед.длины).

ычисление объема тел вращения Предположим, что площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси ОХ, может быть выражена функцией от х: при , тогда объем тела, заключенный между перпендикулярными оси ОХ плоскостями и , находится по формуле . (4.10) Если криволинейную трапецию (рис.4.10) вращать вокруг оси ОХ, то объем тела вращения будет равен . (4.11) Если плоская область, ограниченная кривыми и прямыми и , вращается вокруг оси ОХ, то (4.12) Аналогично можно записать формулы для вычисления объемов тел вращения вокруг оси ОY: (4.13) (4.14) Если кривые, ограничивающие плоскую область заданы в параметрическом виде, то к формулам (4.10 - 4.14) следует применить соответствующие замены переменной. Если криволинейный сектор вращать вокруг полярной оси (см.рис.5.7), то . (4.15) Пример 49. Вычислить объем тела, полученного при вращении дуги кривой , вокруг оси ОХ. Ре шение. Данная кривая называется цепной линией. График ее изображен на рис.4.9. Объем тела вращения (рис.4.10) вычислим по формуле (4.11)

.

Вычисление площади поверхностей тел вращения Площадь поверхности, образованной вращением гладкой кривой АВ вокруг оси ОХ, равна где  дифференциал дуги кривой. В зависимости от задания кривой  явное, в параметрическом виде или в полярных координатах  указанную формулу можно расписать так . (4.16) . (4.17) . (4.18) Пример 52. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги кривой , . Решение. или Воспользуемся формулой (4.16)

Билет №112. Определение и свойства несобственных интегралов первого рода. Сходимость несобственного интеграла первого рода. Критерий Коши. Признаки сходимости несобственного интеграла первого рода: признак сравнения. Признак Дирихле, частный признак сравнения.

Билет №113. Определение и свойства несобственных интегралов второго рода. _{+ Билет №114 Вычисление несобственных интегралов.}