ТФКП2009 / Лекция 47
.docЛекция 47 . Ряды Лорана.
П.1 Разложение голоморфной в кольце функции в ряд Лорана.
Обозначим через
кольцо на комплексной плоскости :
=
.
Допускаются случаи
и
.Функции
голоморфные в кольце могут быть разложены
в функциональные ряды, которые называют
рядами Лорана.
ТЕОРЕМА 1 (Лорана).
Любую функцию
,
голоморфную в кольце
,
можно представить в виде суммы сходящегося
ряда
, (1)
коэффициенты которого вычисляются по
формуле:
, (2)
где
- окружность радиуса
,
ДОК. Пусть
- произвольная точка кольца и
- кольцо,
,
компактно содержащееся в
,
.
Применим формулу Коши :
,
где окружности
и
ориентированы против часовой стрелки.
Если
,
то
и ряд
сходится равномерно по
.Интегрируем
полученный ряд почленно :
,
где
,
Пусть
.
Тогда
и ряд
равномерно сходится по
.
Проинтегрируем полученный ряд почленно
:
делаем замену
=
=
,
где
,
С учетом гомотопии путей
интеграл в формуле вычисления коэффициентов
ряда Лорана не зависит выбранного пути.
ОПР. Совокупность членов ряда (1) ,
содержащие
в положительных степенях, называются
правильной частью ряда (1), остальные
слагаемые составляют главную часть.
Правильная часть представляет степенной
ряд и поэтому радиус его сходимости
определяется по формуле Адамара :
.
Главная часть ряда представляет собой
степенной ряд относительно
,
поэтому его радиус сходимости
определяется формулой :
,
т.е. ряд главной части сходится при
.
Числа
и
называются радиусами внутренней и
внешней окружностей, ограничивающих
максимальное кольцо
,
в котором ряд (1) сходится.
По теореме Абеля ( теорема 4, лекция 43)
сходимость ряда (1) будет равномерной
на любом кольце
,
а по теореме Вейерштрасса ( теорема 6,
лекция 46) сумма этого ряда голоморфна
в
.
ТЕОРЕМА 2 ( О единственности разложения функции в ряд Лорана )
Пусть функция
разложима в ряд (1) в кольце
.
Тогда коэффициенты
этого ряда определяются по формулам
(2).
ДОК. На окружности
,
ряд (1) сходится равномерно и ряд (1) можно
почленно проинтегрировать , предварительно
умножив его на
:
.
По доказанному в примере 2, лекция 44,
.
Тогда
=2
и
.
ПРИМЕР 1. Функция
голоморфна в кольцах
,
и
.
Разложить ее в ряд Лорана в каждом из
колец.
РЕШЕНИЕ. Разложим функцию в сумму
простейших дробей :
.
Если
,
то
(3) сходится в
и
даже в
,
так как
.
Разложим сначала функцию
,
а потом продифференцируем ряд почленно
:
(4).
Вычитая ряды (3) и (4), получим
.
(5)
Ряд Лорана функции
в кольце
содержит только правильную часть,
поэтому является голоморфной функцией
в круге
.
Если
,
то
представляется рядом (3), а
.
Дифференцируем ряд почленно :
(6). Тогда
+
(7)
Если
,
то
=
(8).
Ряд (8) сходится в кольце
,
так как
.
Функция
представляется в
рядом (6). Тогда
(9).
Ряд (9) содержит только главную часть.
Ряды (5), (7) и (9) имеют вид (1) и сходятся в соответствующих кольцах, поэтому они являются рядами Лорана своих сумм ( теорема 2 ).
ЗАМЕЧАНИЕ ( Неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана ).
Если функция
голоморфна в кольце
и на окружности
,
ограничена :
,
то для коэффициентов (2) ее ряда Лорана
справедлива оценка :
,
П.2 Связь между рядами Фурье и рядами Лорана.
Пусть
-
непрерывная на отрезке
функция,
разложена в ряд Фурье :
,
где
,
.
Придадим ряду Фурье комплексную форму
:
,
,
,
где
=
,
для
(здесь
)
и
=
для
Тогда ряд Фурье примет форму
,
которая называется комплексной, где
=
,
для
Пусть
- голоморфная функция в кольце
,
содержащем единичную окружность, и
. Тогда
- 2 - периодическая
функция и
коэффициенты
разложения ее в комплексный ряд Фурье
вычисляются по формуле :
,
что совпадает с коэффициентами разложения
функции
в ряд Лорана в кольце
,
.
Обратно, если функция
разложена в ряд Лорана :
в
кольце , то
2 - периодическая
функция
разлагается в ряд Фурье
с
теми же коэффициентами.
ПРИМЕР 2. Разложить функцию
,
в ряд Фурье.
РЕШЕНИЕ. Для
имеем
:
,
и
.
Полученный ряд Лорана сходится в кольце
,
содержащем единичную окружность, поэтому
.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1. Разложение голоморфных функций в кольце. Теорема Лорана.
2. Теорема единственности разложения функции в ряд Лорана.
3. Связь между рядами Фурье и рядами Лорана. Разложение периодических функций в ряд
Фурье с помощью рядов Лорана. Пример.