ТФКП2009 / Лекция 44

Лекция 44. Интеграл Коши.

П.1 Основные понятия.

ОПР.Кривой на комплексной плоскости С называют отображение .

Пусть - разбиение отрезка с параметром и , где , - соответствующее ему разбиение кривой .Число называется диаметром разбиения кривой.

ОПР. Кривая называется спрямляемой, если .

Если функция кусочно-гладкая , то кривая спрямляема.

Пусть произвольный набор точек .

ОПР. Число называют интегральной суммой функции ,

соответствующей разбиению кривой .

ОПР. Интегралом функции по спрямляемой кривой , обозначение ,

называют число =,

если предел существует, т.е. .

Кривая ориентирована в том смысле, что указано ее начало – точка и конец –

точка . Если началом будет выбрана точка , а концом - , то ориентация кривой изменится на противоположную. Такую кривую будем обозначать в отличии от

в первоначальной ориентации. Смена ориентации приведет к тому, что скобки

в выражении интегральной суммы заменятся на в выражении

, т.е. = - . Тогда -. Это приводит к правилу:

при изменении ориентации кривой интеграл по ней меняет знак.

ПРИМЕР 1. Пусть - спрямляемая, замкнутая кривая (). Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Выберем два набора точек разбиения 1) и 2) . Поскольку интеграл не зависит от выбора точек :

1) = 2) =

Складывая полученные равенства, получим

=.

ТЕОРЕМА 1. ( Существования интеграла ).

Если определена в окрестности спрямляемой кривой и непрерывна в точках кривой , то интеграл вдоль кривой существует.

ДОК. Пусть и . Тогда интегральная сумма примет вид : =, где

, =,

, , , , , .

Каждая из и являются интегральными суммами для криволинейных интегралов второго рода :

=, .

Последние интегралы существуют в силу непрерывности функций на спрямляемой кривой ( существование криволинейного интеграла второго рода ).

Тогда +.

СЛЕДСТВИЕ. Если кривая гладкая, существует , то

+=

=.

ОПР. Совокупность точек Г=на плоскости называют путем, соединяющим точки и .

Отличие пути от кривой, соединяющей те же точки, состоит в том, что кривая зависит от параметризации : кривая ,для которой , где , , монотонная функция и кривая разные, а путь один. Интеграл от функции зависит от пути, но не от кривой :

=.

ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл для различных целых , если

- окружность радиуса с центром .

РЕШЕНИЕ. Уравнение кривой , .

=.

П.2 Свойства интеграла.

1. смена знака интеграла при изменении ориентации на противоположную :

-.

2. линейность интеграла : .

3. аддитивность по множеству : если состоит из конечного числа кусков

спрямляемых кривых и существуют интегралы по каждому из них, то

.

4. оценка интеграла : если кривая спрямляема и имеет длину , существует криволинейный интеграл первого рода , то справедлива оценка интеграла :

.

ДОК. .

П.3 Понятие первообразной.

ОПР. Голоморфная в области функция называется первообразной функции

, если для .

ТЕОРЕМА 2. ( О структуре множества первообразных).

Если и две первообразные функции в области ,

то - =С для всех .

ДОК. Рассмотрим функцию . Она голоморфна : и . Если , то

т.е. и . Тогда и для любых .

СЛЕДСТВИЕ. Множество первообразных функции в области задается

формулой : , где одна из первообразных функции .

ТЕОРЕМА 3 ( Достаточные условия существования первообразной )

Если функция непрерывна в круге и интеграл =0 , где -

контур любого треугольника, принадлежащего , то функция ,

где - отрезок , соединяющий точки и , является первообразной

функции .

ДОК. Пусть - произвольная точка круга и столь мало, что .

Рассмотрим треугольник с вершинами , и . Направление обхода

контура треугольника : . Тогда по условию теоремы :

.

Из непрерывности функции следует, что

для любого . Тогда и теорема доказана.

ТЕОРЕМА 4.

Если функция голоморфна в , то интеграл по контуру любого

треугольника, содержащегося в , равен нулю.

ДОК. От противного : существует треугольник , принадлежащий , интеграл по контуру которого не равен нулю.

.

Разобьем треугольник средними линиями на четыре треугольника. Ориентацию контуров этих треугольников выберем так, как изображено на рис.

С учетом свойства 1) сумма интегралов по четырем треугольникам равна интегралу по контуру треугольника , поэтому найдется хотя один треугольник , обозначим его ,

для которого Поступим с ним также как с треугольником : разобьем его средними линиями на четыре треугольника. Выберем из них треугольник , для которого Процесс деления треугольников приведет к последовательности

вложенных друг в друга треугольников , для которых Пусть та единственная точка из, которая принадлежит всем треугольникам . По условию теоремы функция голоморфна в точке и поэтому

, где

- бесконечно малая функция в точке : .

Тогда =,

поскольку первые два интеграла равны нулю (см. пример 2). Число выберем настолько большим, что и для , где =-

- периметр треугольника . Тогда справедлива оценка :

, т.е. .

Поскольку произвольно малое число, то , что противоречит предположению

о том, что .

Из теорем 3 и 4 следует локальная теорема о существовании первообразной :

ТЕОРЕМА 5. ( локальная теорема о первообразной )

Если функция голоморфна в , то в любом круге у нее есть первообразная .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Понятие интеграла от функции комплексного переменного. Теорема существования

интеграла.

2). Свойства интеграла.

3) Понятие первообразной. Теорема о достаточных условиях существования первообразной.

4). Теорема о нуле интеграла по контуру треугольника от голоморфной функции.

Теорема о существовании локальной первообразной голоморфной функции в области.