
ТФКП2009 / Лекция 44
.docЛекция 44. Интеграл Коши.
П.1 Основные понятия.
ОПР.Кривой
на
комплексной плоскости С называют
отображение
.
Пусть
- разбиение отрезка
с
параметром
и
,
где
,
- соответствующее ему разбиение кривой
.Число
называется диаметром разбиения кривой.
ОПР. Кривая называется спрямляемой,
если
.
Если функция
кусочно-гладкая , то кривая спрямляема.
Пусть
произвольный
набор точек
.
ОПР. Число
называют
интегральной суммой функции
,
соответствующей разбиению
кривой
.
ОПР. Интегралом функции
по спрямляемой кривой
,
обозначение
,
называют число
=
,
если предел существует, т.е.
.
Кривая
ориентирована
в том смысле, что указано ее начало –
точка
и конец –
точка
.
Если началом будет выбрана точка
,
а концом -
,
то ориентация кривой изменится на
противоположную. Такую кривую будем
обозначать
в отличии от
в
первоначальной ориентации. Смена
ориентации приведет к тому, что скобки
в выражении интегральной суммы
заменятся на
в выражении
,
т.е.
=
-
.
Тогда
-
.
Это приводит к правилу:
при изменении ориентации кривой интеграл по ней меняет знак.
ПРИМЕР 1. Пусть
- спрямляемая, замкнутая кривая (
).
Вычислить
.
РЕШЕНИЕ. Выберем два набора точек
разбиения 1)
и 2)
.
Поскольку интеграл не зависит от выбора
точек :
1)
=
2)
=
Складывая полученные равенства, получим
=
.
ТЕОРЕМА 1. ( Существования интеграла ).
Если
определена в окрестности спрямляемой
кривой
и непрерывна в точках кривой
,
то интеграл вдоль кривой
существует.
ДОК. Пусть
и
.
Тогда интегральная сумма
примет вид :
=
,
где
,
=
,
,
,
,
,
,
.
Каждая из
и
являются интегральными суммами для
криволинейных интегралов второго рода
:
=
,
.
Последние интегралы существуют в силу
непрерывности функций
на
спрямляемой кривой ( существование
криволинейного интеграла второго рода
).
Тогда
+
.
СЛЕДСТВИЕ. Если кривая
гладкая,
существует
,
то
+
=
=.
ОПР. Совокупность точек Г=на
плоскости называют путем, соединяющим
точки
и
.
Отличие пути от кривой, соединяющей те
же точки, состоит в том, что кривая
зависит от параметризации : кривая
,для
которой
,
где
,
,
монотонная
функция и кривая
разные, а путь один. Интеграл от функции
зависит от пути, но не от кривой :
=
.
ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл
для различных целых
,
если
- окружность радиуса
с центром
.
РЕШЕНИЕ. Уравнение кривой
,
.
=
.
П.2 Свойства интеграла.
1. смена знака интеграла при изменении ориентации на противоположную :
-
.
2. линейность интеграла :
.
3. аддитивность по множеству : если
состоит из конечного числа кусков
спрямляемых кривых
и
существуют интегралы по каждому из них,
то
.
4. оценка интеграла : если кривая
спрямляема и имеет длину
,
существует криволинейный интеграл
первого рода
,
то справедлива оценка интеграла :
.
ДОК.
.
П.3 Понятие первообразной.
ОПР. Голоморфная в области
функция
называется
первообразной функции
,
если
для
.
ТЕОРЕМА 2. ( О структуре множества первообразных).
Если
и
две первообразные функции
в
области
,
то
-
=С
для всех
.
ДОК. Рассмотрим функцию
.
Она голоморфна :
и
.
Если
,
то
т.е.
и
.
Тогда
и
для любых
.
СЛЕДСТВИЕ. Множество первообразных
функции
в области
задается
формулой :
,
где
одна из первообразных функции
.
ТЕОРЕМА 3 ( Достаточные условия существования первообразной )
Если функция
непрерывна в круге
и интеграл
=0
, где
-
контур любого треугольника, принадлежащего
,
то функция
,
где
- отрезок , соединяющий точки
и
,
является первообразной
функции
.
ДОК. Пусть
- произвольная точка круга и
столь мало, что
.
Рассмотрим треугольник с вершинами
,
и
.
Направление обхода
контура
треугольника
:
.
Тогда по условию теоремы :
.
Из непрерывности функции
следует,
что
для любого
.
Тогда
и теорема доказана.
ТЕОРЕМА 4.
Если функция
голоморфна в
,
то интеграл по контуру любого
треугольника, содержащегося в
,
равен нулю.
ДОК. От противного : существует треугольник
,
принадлежащий
,
интеграл по контуру которого не равен
нулю.
.
Разобьем треугольник
средними линиями на четыре треугольника.
Ориентацию контуров этих треугольников
выберем так, как изображено на рис.
С учетом свойства 1) сумма интегралов
по четырем треугольникам равна интегралу
по контуру треугольника
,
поэтому найдется хотя один треугольник
, обозначим его
,
для которого
Поступим с ним также как с треугольником
:
разобьем его средними линиями на четыре
треугольника. Выберем из них треугольник
,
для которого
Процесс
деления треугольников приведет к
последовательности
вложенных друг в друга треугольников
,
для которых
Пусть
та единственная точка из
,
которая принадлежит всем треугольникам
.
По условию теоремы функция
голоморфна в точке
и поэтому
,
где
-
бесконечно малая функция в точке
:
.
Тогда
=
,
поскольку первые два интеграла равны
нулю (см. пример 2). Число
выберем настолько большим, что
и
для
,
где
=
-
- периметр треугольника
.
Тогда справедлива оценка :
,
т.е.
.
Поскольку
произвольно малое число, то
,
что противоречит предположению
о том, что
.
Из теорем 3 и 4 следует локальная теорема о существовании первообразной :
ТЕОРЕМА 5. ( локальная теорема о первообразной )
Если функция
голоморфна в
,
то в любом круге
у нее есть первообразная
.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Понятие интеграла от функции комплексного переменного. Теорема существования
интеграла.
2). Свойства интеграла.
3) Понятие первообразной. Теорема о достаточных условиях существования первообразной.
4). Теорема о нуле интеграла по контуру треугольника от голоморфной функции.
Теорема о существовании локальной первообразной голоморфной функции в области.