ТФКП2009 / Лекция 51

Лекция 51. Преобразование Лапласа.

П.1 Оригинал и изображение.

Следующее понятие определяет класс комплексно значных функций действительного переменного, на которых определено преобразование Лапласа.

ОПР. Функция называется оригиналом , если 1) она удовлетворяет в каждой точке , кроме конечного их числа, в которых функция имеет разрывы первого рода, условию Гельдера, т.е. .

2) для . 3) и .

Условие Гельдера промежуточное между непрерывностью в точке и существованием в этой точке производной : из Гельдера следует непрерывность, а из существования производной – условие Гельдера. Условие 3) устанавливает, что функция растущая на бесконечности быстрее чем экспонента, не может быть оригиналом.

ОПР. Показателем роста оригинала называют нижнюю грань множества значений , для которых справедлива оценка 3).

Если - показатель роста оригинала , то

и для .

Если функция удовлетворяет условиям 1) и 3), но не 2) , то оригиналом является функция , где

ОПР. Изображением оригинала по Лапласу ( преобразование Лапласа ) называют функцию комплексного переменного равную :

(1)

Если - показатель роста оригинала , то интеграл существует для всех .

То, что является изображением оригинала , обозначают так : .

ТЕОРЕМА 1 ( О дифференцировании изображения )

Если - показатель роста оригинала , то изображение существует и является голоморфной функцией в полуплоскости , при этом

(2)

ДОК. Пусть . Тогда существует константа , для которой

и , (3)

т.е. интеграл сходится и изображение существует. Пусть , - произвольная точка. Тогда

== +. Оценим второй интеграл :

. Пусть . Тогда существует константа , для которой при всех и

, т.е. функция ограничена. Тогда

равенство + означает дифференцируемость функции в точке и справедливость формулы (2).

ЗАМЕЧАНИЕ. Из оценки (3) следует, что .

СЛЕДСТВИЕ. Формула для производной изображения порядка :

(4)

П.2 Обращение преобразования Лапласа.

ТЕОРЕМА 2 ( Формула обратного преобразования ).

Если оригинал изображения с показателем роста , то в любой точке , в которой выполняется условие Гельдера 1), и любого справедлива формула :

, (5)

где интеграл понимается в смысле главного значения.

ДОК. Преобразуем интеграл

= замена =

см. пример 3, лекция 50 = , где

функция также является оригиналом, в частности удовлетворяет условию Гельдера. Докажем, что для любого , в котором функция удовлетворяет условию Гельдера , . Для этого оценим последний интеграл с учетом леммы Римана ( лекция 33) : если функция абсолютно интегрируема на отрезке , то .

.

Функция абсолютно интегрируема на отрезке , поскольку в окрестности справедлива оценка .

Два последних интеграла являются абсолютно сходящимися на для любого , поэтому

и , т.е.

и .

Каким условиям должна удовлетворять функция , чтобы у нее был оригинал ?

Следующая теорема устанавливает эти условия.

ТЕОРЕМА 3 (Достаточные условия существования оригинала)

Пусть функция голоморфна в полуплоскости и 1) ,

2) . Тогда функция , определяемая формулой (5), является оригиналом функции .

ДОК. Без доказательства.

В дальнейшем будем употреблять обозначение : , если является изображением по Лапласу оригинала .

ПРИМЕР 1. Доказать, что и , где .

РЕШЕНИЕ. .

П.3 Свойства преобразования Лапласа.

Св.1 Линейность :

Следует из линейности интеграла.

ПРИМЕР 2. Доказать, что и .

РЕШЕНИЕ.

.

УПРАЖНЕНИЕ. Найдите и .

ОТВЕТ. ,

Св.2 Подобие.

. (6)

ДОК. .

Св.3 Дифференцирование оригинала.

. (7)

ДОК. Если - показатель роста функции , то для :

.

Формула (7) может быть обобщена на случай производной любого порядка :

(8)

ДОК. Для формула доказана в (7). Предположим, что формула (8) верна для и докажем ее для :

=.

Св.4 Интегрирование оригинала.

. (9)

ДОК. Функция также является оригиналом, причем Если его изображение, то по формуле (7) .

ПРИМЕР 3. Доказать, что .

РЕШЕНИЕ. , ,…, .

Св.5 Интегрирование изображения.

Если оригинал с показателем роста , - его изображение по Лапласу, то

, (10)

где интеграл берется вдоль пути .

ДОК. .

ПРИМЕР 4. Найти .

РЕШЕНИЕ. .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Оригинал и его изображение по Лапласу. Теорема о дифференцировании изображения.

2.Обратное преобразование Лапласа. Формула для восстановлению оригинала по изображению.

3. Свойства преобразования Лапласа. Подобие и дифференцирование оригинала.

4. Свойства преобразования Лапласа. Интегрирование оригинала и изображения.