ТФКП2009 / Лекция 43

Лекция 43. Функциональные ряды.

П.1 Основные понятия.

Рассмотрим ряды, членами которых являются функции комплексного переменного.

, (1)

Понятия его сходимости, области сходимости, абсолютной сходимости, равномерной сходимости аналогичны соответствующим понятиям для рядов с действительными функциями . Теряются только свойства, основанные на положительности членов ряда,

и абсолютное значение числа меняется на модуль комплексного. В связи с этим доказательство некоторых из приводимых ниже утверждений опускаются.

ТЕОРЕМА 1. ( Признак Коши равномерной сходимости) .

Для равномерной сходимости ряда (1) на области необходимо и достаточно, чтобы

.

ТЕОРЕМА 2. ( О мажорирующем ряде).

Если для ряда (1) найдется сходящийся числовой ряд с положительными членами, для которого , то ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на .

ТЕОРЕМА 3. ( О непрерывности суммы ряда)

Если функции , непрерывны в области , ряд (1) сходится равномерно, то сумма ряда непрерывна на .

Приведем несколько утверждений, относящихся к степенным рядам

(2)

Здесь - коэффициенты степенного ряда – последовательность комплексных чисел.

- центр ряда.

Справедливо одно полезное утверждение :

ЛЕММА. Если члены степенного ряда (2) в некоторой точке ограничены : , то ряд (2) сходится в круге , а на каждом множестве сходимость ряда (2) равномерная.

ДОК. Обозначим . Тогда для любого и

, т.е. степенной ряд мажорируется сходящейся геометрической прогрессией и поэтому сходимость равномерная.

Из леммы вытекает теорема

ТЕОРЕМА 4 ( Абеля )

Если степенной ряд (2) сходится в точке , то ряд сходится в круге и для

каждого множества эта сходимость равномерная.

ДОК. Если ряд (2) сходится в точке , то по необходимому признаку сходимости

и существует число , для которого . Тогда

утверждение теоремы следует из леммы.

Опр. Число , где sup берется по всем , для которых ряд (2) сходится,

называется радиусом сходимости степенного ряда (2).

Поскольку в точке ряд (2) сходится, то число . Если , то ряд (2) сходится на всей комплексной плоскости.

В круге сходимости сумма ряда (2) обладает рядом свойств.

СЛЕДСТВИЕ. ( О непрерывности суммы степенного ряда)

Если - радиус сходимости степенного ряда (2), то в круге при ряд (2)

сходится равномерно и сумма ряда – непрерывная функция в круге вплоть до

границы.

Следующее утверждение уточняет поведение суммы ряда (2) на границе круга

сходимости .

ТЕОРЕМА 5 (О сходимости степенного ряда на границе круга сходимости).

Если степенной ряд (2) сходится в точке на границе круга , то ряд сходится

равномерно на отрезке . В частности, сумма ряда (2) является непрерывной

функцией на отрезке и .

Из доказанного следует теорема о структуре области сходимости степенного ряда.

ТЕОРЕМА 6. ( Об области сходимости степенного ряда).

Для степенного ряда (2) справедливо одно из утверждений :

(а) точка единственная, в которой ряд (2) сходится;

(б) ряд (2) сходится для всех ;

(в) существует число , для которого ряд (2) сходится и

расходится .

Следующая теорема устанавливает формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты.

ТЕОРЕМА 7. ( Формула Коши-Адамара)

Радиус сходимости степенного ряда вычисляется по формулам : , где

или .

Здесь допускаются случаи и .

ДОК. Докажем первую формулу Коши- Адамара. Из определения верхней грани следует, что и тогда справедлива оценка : . Если , то число можно выбрать столь малым, что и ряд (2) мажорируется рядом сходящейся геометрической прогрессии и поэтому является сходящимся.

Если , то для любого существует подпоследовательность , для которой и . Для достаточно малого величина и общий член ряда (2) не стремится к нулю и ряд (2) расходится.

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите вторую формулу Коши-Адамара.

ДОК. Из определения верхней грани . Тогда

. Если , то

. Число выберем столь малым, что число и ряд (2) мажорируется рядом сходящейся геометрической прогрессии и поэтому ряд (2) сходится. Если , то для любого существует подпоследовательность , для которой . Тогда

,

если выбрано настолько малым, что . В этом случае существует

последовательность членов ряда (2) , которая не стремится к нулю и ряд (2)

расходится.

Следующие понятия относятся к возможности умножения рядов.

ОПР. Если (а) и (б) два числовых ряда, , то их произведением

называют ряд (в), где .

Такое определение произведения провоцировано умножением многочленов

( или степенных рядов) с дальнейшим приведением подобных членов :

.

Полагая в этом равенстве , получим произведение числовых рядов (а) и (б).

ЛЕММА. Произведение абсолютно сходящихся рядов является рядом абсолютно

сходящимся, сумма которого равна произведению сумм рядов сомножителей.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. , т.е. ряд (в) сходится

абсолютно. Его сумма определяется предельным переходом частичных сумм рядов (а)

и (б) .

П.2 Представление показательной функции степенным рядом.

Рассмотрим функцию , определенную на всей комплексной плоскости.

( . Докажем, что .

.

Тогда

=.

Таким образом, показательная функция может быть определена как сумма ряда:

=.

Аналогично, функции , , , можно определять рядами,

сходящимися на всей комплексной плоскости :

; ; ( гиперболический синус);

( гиперболический косинус).

ТЕОРЕМА 8. (О голоморфности суммы степенного ряда ).

Если функция представлена степенным рядом (3) , сходящимся в круге , то голоморфна в этом круге и (4).

ДОК. Пусть - произвольная внутренняя точка круга сходимости. Ряд (4) также сходится при и его сумма. Выберем число . Тогда

Ряд , полученный дифференцированием (4), сходится абсолютно и мажорируется сходящимся числовым рядом : < M

Оценим величину : =

=

=

=.

Тогда , - произвольная точка круга сходимости

ряда (3).

СЛЕДСТВИЕ. Если для , то функция голоморфна

внутри круга сходимости.

ДОК. , где , , голоморфная функция и

.

Поскольку представляется степенным рядом, то по теореме 8 она представляет

голоморфную функцию в том же круге сходимости и у нее существует для любого

, причем =. Продолжая процесс, приходим к

СЛЕДСТВИЕ . Если для , то функция имеет

бесконечное число производных для каждого .

Следующее утверждение связывает степенной ряд, в который разлагается функция ,

с рядом Тейлора этой функции.

СЛЕДСТВИЕ. Если (5) для , то , т.е. степенной ряд (5) является рядом Тейлора функции .

ДОК. По предыдущему следствию

Последнее утверждение можно сформулировать в ином виде :

СЛЕДСТВИЕ. ( О единственности разложения функции в степенной ряд).

Если два степенных и сходятся в круге и имеют одну сумму , то .

СЛЕДСТВИЕ. Пусть для . Если четная, то ,

если нечетная, то ,

ДОК. Пусть четная : ряды и имеют одинаковую сумму, поэтому . Если , то .

Пусть нечетная : ряды и имеют одинаковую сумму, поэтому . Если , то .

Рассматривая показательную, тригонометрические и гиперболические функции, как суммы рядов , приходим к формулам :

==. (sinz(= .

=.

=. ==shz.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Функциональные ряды функций комплексного переменного. Основные понятия.

2) Произведение степенных рядов. Лемма об абсолютной сходимости произведения.

3) Представление показательной функции степенным рядом. Основное свойство

показательной функции.

4) Тригонометрические и гиперболические функции, их представление степенными

рядами.

5) Теорема о голоморфности суммы степенного ряда.

6) Следствия из теоремы о голоморфности суммы степенного ряда.