ТФКП2009 / Лекция 40

Лекция 40. Основные понятия.

П.1 Комплексная плоскость, сфера Римана, метрики, топологии.

Каждому комплексному числу, записанному в алгебраической форме , соответствует точка плоскости с координатами . Эту плоскость будем называть открытой комплексной плоскостью и обозначать буквой С. В дальнейшем будет удобно присоединить к С бесконечно удаленную точку (несобственную) и рассматривать множество - замкнутую комплексную плоскость. Удобной иллюстрацией для служит сфера Римана . Рассмотрим в декартовую прямоугольную систему координат

, согласованную с системой координат на плоскости ХОУ так, что оси ОХ и ОУ совпадают с осями OU и OV . Рассмотрим сферу : , касающуюся плоскости ХОУ в начале координат и имеющую радиус ( сфера Римана). Стереографической проекцией точки , на плоскость С назовем точку z , являющуюся пересечением луча NM с плоскостью ХОУ. Стереографическая проекция осуществляет биекцию С и и задается формулами :

, , (1)

, (2)

ДОК. Треугольник ONA – прямоугольный, ,

A(x,y), , , ,

, из подобия .

и . Из подобия .

Из последнего равенства , ,

, .

Несобственной точке можно сопоставить точку N (северный полюс сферы). Замкнутая комплексная плоскость взаимно однозначно отображается на , что дает возможность отождествления и .

Открытая комплексная плоскость С является метрическим пространством , в котором расстояние (метрика) между точками и определяет величина .

Замкнутая комплексная плоскость также является метрическим пространством, в котором расстоянием между точками и является расстояние между их стереографическими прообразами на сфере Римана :

. Если , то .

Эти метрики удовлетворяют аксиомам метрического пространства, включая неравенство треугольника. Топология на открытой комплексной плоскости С задается системой окрестностей , а на замкнутой плоскости - системой окрестностей . Окрестностью точки является множество точек . Соответствующие выколотые окрестности обозначим через

, .

ОПР. Множество (или ) открыто, если для каждой точки существует окрестность (или ).

Опр. Точка ( или ) называется предельной для множества

( или ) , если в любой выколотой окрестности (или )

существует точка .

Если и является предельной точкой множества в топологии С , то она является предельной точкой и в топологии ( и наоборот).

Последнее следует из неравенства :

справедливого для всех .

ОПР. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Если к множеству М добавить все его предельные точки, то получится множество

- замыкание множества М. Множество замкнуто, если .

На плоскости С существуют бесконечные множества , не имеющие предельных точек, например, (множество натуральных чисел). В этом случае они обязательно неограниченные : всякое ограниченное множество на плоскости С имеет предельную точку. На замкнутой комплексной плоскости всякое бесконечное множество имеет предельную точку, возможно, бесконечность.

ОПР. Множества на плоскости С замкнутые и ограниченные называются компактными.

П.2 Пределы, непрерывность.

ОПР. Предельной точкой последовательности комплексных чисел в топологии С (или ) называют число ( или ), в любой окрестности которого содержится бесконечное число членов последовательности .

Заметим, что понятие предельной точки последовательности отличается от понятия предельной точки множества значений последовательности, т.е. функции : постоянная последовательность имеет предельную точку равную , а множество значений последовательности предельных точек не имеет.

ОПР. Последовательность , имеющая в единственную предельную точку , называется сходящейся : .

Следующие утверждения аналогичны утверждениям действительного анализа :

1) Последовательность сходится к в том и только в том случае, если

2) Точка является предельной для последовательности , если существует подпоследовательность , для которой .

С каждой комплексной последовательностьюсвязаны две действительные :

и . Их одновременная сходимость равносильна сходимости ,

причем , .

ОПР. Функцией комплексного переменного , определенной на множестве и принимающей значения в множестве , называется правило, по которому каждому сопоставляется единственное комплексное число .

Позже удобно будет расширить понятие функции до многозначной функции.

ОПР. Функция называется однолистной , если из равенства следует равенство .

ПРИМЕР 1. Функция однолистная на и ( комплексная плоскость с разрезом вдоль положительной полуоси). Она не является однолистной, если , т.к. , .

С каждой комплексной функцией связаны две функции действительных переменных : и (действительные и мнимые части функции). Отображение ,, осуществляющее для однолистной функции биекцию областей и на плоскости , характеризует поведение функции в смысле ( действительного анализа) .

Пусть функция определена в выколотой окрестности точки .

ОПР. Число называется пределом функции в точке , если

.

Если , то и можно заменить на и .

Существование предела у функции равносильно существованию пределов у функций , в смысле в точке .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , включая .

ОПР.Функция непрерывна в точке в смысле С , если и

.

Если и , то говорят о непрерывности функции в точке в смысле

, т.е. обобщенной непрерывности.

ОПР. Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Если множество замкнуто в смысле , т.е. на сфере Римана, то справедливы утверждения : 1) всякая функция непрерывная в смысле С на множестве М ограничена нем : существует константа К>0 , для которой .

2) всякая функция непрерывная в смысле С на множестве М равномерно непрерывна :

П.3 Дифференцируемость.

ОПР. Функция дифференцируема в точке в смысле , если дифференцируемы в этой точке функции и . Дифференциалом называют выражение : .

Найдем иную форму записи дифференциала функции :

с учетом , =

+=, где через и обозначены выражения :

=,

=.

ОСНОВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Функция дифференцируема в точке в смысле С, если , т.е.

(3)

или , (4)

Соотношения (4) написаны в точке и называются условиями Коши-Римана.

Дифференцируемую в смысле С функцию называют моногенной.

ОПР. Функция называется моногенной , если она дифференцируемая в точке в смысле и для нее выполняются условия Коши-Римана (4) в точке .

ПРИМЕР 2. Доказать, что функция дифференцируема в смысле в любой точке С, но не является моногенной ни в одной точке С.

ДОК. Функции , дифференцируемы в любой точке, но , что приводит к невыполнению условий Коши-Римана.

ПРИМЕР 3. Доказать, что функция моногенна в любой точке плоскости.

ДОК. Функции , дифференцируемы в любой точке. Проверим условия Коши-Римана : , , т.е. функция моногенна.

ОПР. Функция называется голоморфной (аналитической) в точке , если она моногенна в каждой точке некоторой окрестности точки .

Голоморфность функции в бесконечно удаленной точке понимается как голоморфность функции в точке .

ПРИМЕР 4. ( функции моногенной в точке, но не голоморфной в ней )

Функция имеет производную для всех , т.е. функция не является моногенной в любой окрестности точки и поэтому не голоморфна в точке . Однако, она дифференцируема в смысле в окрестности

точки (0;0) и в точке , т.е. функция в точке моногенна.

ОПР. Функция голоморфна на открытом множестве , если она голоморфна в каждой точке этого множества.

Голоморфность функции на произвольном множестве М означает возможность ее продолжения до голоморфной функции в некотором открытом множестве .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Комплексная плоскость, сфера Римана, метрики, топологии.

2) Предел и непрерывность функции комплексного переменного.

3) Дифференцируемость функции комплексного переменного. Моногенность и голоморфность функции в точке.