ТФКП2009 / Лекция 50

Лекция 50. Вычисление несобственных интегралов.

П.1 Применение вычетов для вычисления несобственных интегралов от быстро убывающих функций.

ЛЕММА 1. Пусть функция непрерывна в области

и . Тогда , где .

ДОК. Из условий леммы . Тогда .

ТЕОРЕМА 1. Пусть голоморфна в замыкании = за исключением конечного числа изолированных особых точек , , лежащих в этой полуплоскости. Если , то

(1)

ДОК. К области , ограниченной отрезком и полуокружностью , применима теорема Коши о вычетах . Если выбрано достаточно большим, то все и

=.

По лемме 1 второе слагаемое стремится к нулю с ростом , а правая часть равенства

от не зависит. Тогда .

СЛЕДСТВИЕ. Пусть - рациональная функция, причем степени многочленов и связаны условием : и не имеет нулей на действительной оси. Тогда для вычисления несобственного интеграла применима формула (1).

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. В силу четности подынтегральной функции : . Функция имеет в верхней полуплоскости два полюса первого порядка : ,

, вычеты в которых равны : , .

Тогда и .

П.2 Вычисление несобственных интегралов от медленно убывающих функций.

ЛЕММА 2 ( ЖОРДАНА).

Пусть функция голоморфна в верхней полуплоскости = за исключением конечного числа изолированных особых точек. Пусть , где

- полуокружность в верхней полуплоскости , и существует последовательность : , для которой . Тогда для любого

.

ДОК. .

Если , то , а для справедливо неравенство

. Тогда

.

Из доказанной оценки следует утверждение леммы.

ТЕОРЕМА 2 ( О вычислении несобственных интегралов от функций медленно убывающих на вещественной оси ).

Пусть функция голоморфна в замыкании за исключением конечного числа изолированных особых точек , , лежащих в этой полуплоскости, удовлетворяет условию леммы Жордана. Тогда для любого

. (2)

ДОК. К области , ограниченной отрезком и полуокружностью , применима теорема Коши о вычетах . Если выбрано достаточно большим, то все и

=.

По лемме Жордана при второй интеграл при стремится к нулю, сумма от не зависит , поэтому существует предел интеграла и справедлива

формула (2).

СЛЕДСТВИЕ 1. Если функция , принимающая при действительных значениях действительные значения , удовлетворяет условию теоремы 4, то для любого

(3)

СЛЕДСТВИЕ 2. Если - рациональная функция, у которой многочлен знаменателя не имеет действительных корней и имеет степень большую, чем многочлен числителя, то при справедлива формула (2). Если кроме этого при действительных значениях

функция принимает действительные значения, то справедливы формулы (3).

ЗАМЕЧАНИЕ. Если , то соответствующие формулы распространяются на нижнюю полуплоскость , где рассматриваются особые точки функции .

ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. Функция имеет в верхней полуплоскости единственный полюс первого порядка : , вычет в котором равен :

=. Тогда по формуле (3)

.

П.3 Несобственные интегралы с особенностями на действительной оси.

Пусть функция для действительных значений принимает действительные значения и имеет конечное число особенностей , на действительной оси.

ОПР. Интегралом в смысле главного значения функции на действительной оси называют число : , где , и

.

ТЕОРЕМА 3 (О вычислении интеграла с особенностями на вещественной оси) .

Пусть функция голоморфна в замыкании всюду кроме конечного числа изолированных особых точек , , лежащих в , и конечного числа полюсов первого порядка , , лежащих на вещественной оси. Если , то для любого справедлива формула :

(4)

ДОК. Пусть - область в , ограниченная полуокружностями , , и отрезками действительной оси ( см. рис ). Тогда для области

и функции при достаточно больших и малых справедлива теорема Коши о вычетах, по которой

.

Второе слагаемое левой части по лемме Жордана стремится к нулю. Функция имеет в точке полюс первого порядка, поэтому в окрестности этой точки имеет место разложение : = , где - голоморфная функция в окрестности точки . Тогда . Второй интеграл в силу непрерывности функции в точке стремится к нулю при . Вычислим первый интеграл, полагая :

. Тогда , что завершает доказательство формулы (4).

ПРИМЕР 3. Вычислить интеграл : .

РЕШЕНИЕ. На верхней полуплоскости у функции особенностей нет.

На вещественной оси у нее полюс первого порядка, вычет в котором равен :

, поэтому . Тогда интеграл

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Формула для вычисления несобственного интеграла на вещественной оси от быстро убывающей функции.

2. Формула для вычисления несобственных интегралов на вещественной оси от быстро убывающих функций.

3. Формула для вычисления несобственных интегралов на вещественной оси от функции, имеющей особенности в конечных точках.