27. Устойчивость лсау и лсар. Алгебраические критерии устойчивости лсау и лсар. Критерий Гурвица.

КУ

Алгебраические

Частотные

Полином Гурвица степени n≥1 называется полином, у которого все корни имеют отрицательную вещественную часть.

,

СЛАУ устойчива в том и только том случае, если полином стоящий в левой части характеристического уравнения является полиномом Гурвица.

Полином является стандартным, если все коэффициенты вещественны,

• Критерий Гурвица

+..+

Для того, чтобы стандартный полином являлся полиномом Гурвица необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры определителя Гурвица.

Теорема: Для того, чтобы ЛСАУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица для соответствующего характеристического уравнения имел положительными все главные диагональные миноры.

Определитель Гурвица.

(только для последнего)

,

28. Устойчивость лсау и лсар. Алгебраические критерии устойчивости лсау и лсар. Критерий Рауса.

КУ

Алгебраические

Частотные

Полином Гурвица степени n≥1 называется полином, у которого все корни имеют отрицательную вещественную часть.

,

СЛАУ устойчива в том и только том случае, если полином стоящий в левой части характеристического уравнения является полиномом Гурвица.

Полином является стандартным, если все коэффициенты вещественны,

• Критерий Гурвица

+..+

Для того, чтобы стандартный полином являлся полиномом Гурвица необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры определителя Гурвица.

Теорема: Для того, чтобы ЛСАУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица для соответствующего характеристического уравнения имел положительными все главные диагональные миноры.

Определитель Гурвица.

(только для последнего)

,

• Критерий Рауса

Привести определитель Гурвица к треугольному виду.

Теорема: Для того, чтобы ЛСАУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы в преобразовании к треугольному виду определителя Гурвица все члены, лежащие на главной диагонали были положительны.

29. Устойчивость лсау и лсар. Частотные критерии устойчивости лсау и лсар. Критерий Михайлова.

Пусть , P – комплексная переменная -корень D( )=0

, где

Заменяем в полиноме р на : - функция Михайлова (функция комплексного переменного)

функция Михайлова. – соответств. корень

Функцию Михайлова можно представить в виде: ,

где ,

=

- амплитуда функции Михайлова

- фаза функции Михайлова

- фаза функции

Возьмем конкретный корень , проанализируем как меняется на

А) При изменении от до угол изменяется от до , то есть .

Б) При изменении от до угол изменяется от до , то есть .

Предположим, что из всех n-корней l лежат в правой полуплоскости, тогда n-l корней лежат в левой полуплоскости.

Теорема: Для устойчивости ЛСАУ необходимо и достаточно, чтобы изменение фазы функции Михайлова при изменении была бы равна

Годограф функции Михайлова– Г.М.Т., которые оставляет на комплексной плоскости конец вектора функции Михайлова при изменении от до .

– четная функция.

– нечетная функция.

Годограф симметричен относительно горизонтальной оси => достаточно рассмотреть

Теорема Михайлова: Для устойчивости ЛСАУ необходимо и достаточно, чтобы при

изменении от до изменение фазы функции Михайлова было .

Критерий Михайлова: Для устойчивости ЛСАУ необходимо и достаточно чтобы годограф Михайлова начинался при на вещественной оси, при увеличении от 0 до обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов.

, n – число корней характеристического уравнения.

У стойчива Im n=1 Пример годографа Im не устойчива!!!

n=2 Михайлова n=2

Re Re

n=3 n=4 n=1

n=2

Передаточная функция разомкнутой системы.

X

)

(p) Y(p)

)=

П

)

ример. Имеется ЛСАУ . В разомкнутом состоянии она имеет следующую передаточную функцию

X(p) Y(p)

( Надо найти в пространстве ф-ла :x(t) )

W(p)=

1.Восстановим ДУ замкнутой системы

2. Проверим на устойчивость

W зам.сист(p)= =

kX(p)= )+ )+p )+k )

По свойствам линейности и 3а переводим в пространство оригиналов

ДУ исходное замкнутой системы.

Записываем характеристическое уравнение:

А.Используем критерий Гурвица

стандартный полином

Определитель Гурвица

=

ЛСАУ устойчива, если выполняются все условия.