ТФКП2009 / Лекция 52

Лекция 52. Операционное исчисление.

П.1 Свойства преобразования Лапласа ( продолжение)

Св.6 . Запаздывание.

Для любого .

ДОК. .

ПРИМЕР 1. Найти изображение по Лапласу периодического сигнала .

РЕШЕНИЕ. Представим функцию в виде : =.

Тогда =.

Св.7 Смещение.

Для любого .

ДОК. .

ПРИМЕР 2. Найдите изображения по Лапласу функций , , .

РЕШЕНИЕ. См. пример 3 лекция 51 :. См. пример 2 лекция 51 :

, .

П.2 Свертка и преобразование Лапласа.

ОПР. Сверткой функций и называют функцию .

УТВЕРЖДЕНИЕ. Если и оригиналы, то также оригинал.

ДОК. Если и показатели роста функций и , , то показатель роста свертки не превосходит : для любого существует константа , для которой .

УПРАЖНЕНИЕ. ( симметрия свертки ).

Св.8 ( Теорема об умножении изображений )

Произведением двух изображений есть изображение свертки

(1)

ДОК.

= замена , якобиан , =

= .

Св.9. Интеграл Дюамеля

Справедлива формула :

. (2)

ДОК. .

П.3 Преобразование Лапласа и ряды.

Св.10 Разложение изображения и оригинала в ряды.

Пусть функция голоморфна в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки и ее ряд Лорана имеет вид : . Тогда оригинал при разлагается в ряд

с теми же коэффициентами .

ДОК. Если ряд для изображения сходится при , то для коэффициентов ряда Тейлора функции , справедливо неравенство Коши :

, где . Тогда частичные суммы ряда оригинала в каждой точке оцениваются : . Из последнего следует, что ряд сходится в каждой точке и является целой функцией. Если действительное число, то функция имеет ограниченный показатель роста и является оригиналом ( при ). Найдем его изображение :

см. пример 3 лекция 51=

= .

П. 4 Преобразование Лапласа и вычеты.

Св. 11 . Восстановление оригинала через вычеты.

Пусть функция голоморфна на С за исключением конечного числа изолированных особых точек , , лежащих в полуплоскости и 1) при 2) абсолютно сходится интеграл . Тогда функция

(3)

является оригиналом изображения .

ДОК. Применим к изображению формулу (5) лекция 51 : .

Рассмотрим область на плоскости, изображенную на рис.,

ограниченную дугой окружности радиуса с центром

в начале координат и хордой . Радиус выберем

настолько большим, чтобы все точки ,

принадлежали области .Тогда

По лемме Жордана в условиях теоремы , а для любого .

СЛЕДСТВИЕ. Если - правильная дробь и , - нули знаменателя кратности . Тогда вычеты в полюсах можно вычислить по формуле

(2) лекция 49 : и оригинал вычисляется по формуле :

. (4)

В частности, если - простые полюса, то вычеты в них могут быть вычислены по формуле (4) лекция 49 : и оригинал вычисляется по формуле :

. (5)

Если функция - правильная дробь, причем все корни многочлена однократные, то оригинал вычисляется по формуле :

(6)

ПРИМЕР 3. Найти оригинал изображения : .

РЕШЕНИЕ. У изображения два полюса и второго порядка. Вычеты в этих точках вычисляем по формуле (4) : Аналогично, . Тогда по формуле (4) :

=.

ПРИМЕР 4. Найти оригинал изображения : .

РЕШЕНИЕ. У функции четыре полюса первого порядка : , , , .

по формуле (5)= . Аналогично, .

, . . Тогда =

= .

П.5 Применение операционного метода для решения дифференциальных уравнений.

ОПР. Линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами называют уравнение :

, (7)

где - функция, определенная на полуоси , имеющая достаточное число производных и удовлетворяющая начальным условиям

, , …, .

Если функция оригинал, то неизвестное решение также оригинал и можно применить преобразование Лапласа к правой и левой частям уравнения (7). Тогда

, где

изображение решения , многочлен переменной , коэффициенты которого зависят от начальных условий, изображение функцииправой части.

Обозначая через - характеристический многочлен уравнения (7), находим изображение неизвестного решения задачи Коши : .

Приведем таблицу изображений и оригиналов стандартных функций ( см. примеры) :

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

ПРИМЕР 5. Найти общее решение уравнения : и решение задачи Коши

с начальными условиями , .

РЕШЕНИЕ.

Преобразуем : . Тогда оригинал изображения общего решения имеет вид : , здесь , - произвольные постоянные.

Подставляя начальные условия, получим .

ПРИМЕР 6 Найти общее решение системы : .

РЕШЕНИЕ. Применим преобразование Лапласа : .

Решая систему линейных уравнений, получим и

. Оригинал восстанавливается по таблице и с учетом того, и . Тогда и

, где - произвольные константы.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Свойства преобразования Лапласа. Формулы запаздывания и смещения.

2. Свертка и преобразование Лапласа. Теорема об умножении изображений. Интеграл Дюамеля.

3. Преобразование Лапласа и Ряды Лорана. Формула восстановления оригинала по ряду Лорана изображения.

4. Преобразование Лапласа и вычеты. Формула восстановления оригинала с использованием вычетов. Формула оригинала правильной дроби.

5. Применение преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами.