
ТФКП2009 / Лекция 52
.docЛекция 52. Операционное исчисление.
П.1 Свойства преобразования Лапласа ( продолжение)
Св.6 . Запаздывание.
Для любого
.
ДОК.
.
ПРИМЕР 1. Найти изображение по Лапласу
периодического сигнала
.
РЕШЕНИЕ. Представим функцию
в виде :
=
.
Тогда
=
.
Св.7 Смещение.
Для любого
.
ДОК.
.
ПРИМЕР 2. Найдите изображения по Лапласу
функций
,
,
.
РЕШЕНИЕ. См. пример 3 лекция 51 :.
См. пример 2 лекция 51 :
,
.
П.2 Свертка и преобразование Лапласа.
ОПР. Сверткой функций
и
называют функцию
.
УТВЕРЖДЕНИЕ. Если
и
оригиналы, то
также оригинал.
ДОК. Если
и
показатели роста функций
и
,
,
то показатель роста свертки
не превосходит
:
для любого
существует константа
,
для которой
.
УПРАЖНЕНИЕ.
( симметрия свертки ).
Св.8 ( Теорема об умножении изображений )
Произведением двух изображений есть изображение свертки
(1)
ДОК.
= замена
,
якобиан
,
=
=
.
Св.9. Интеграл Дюамеля
Справедлива формула :
.
(2)
ДОК.
.
П.3 Преобразование Лапласа и ряды.
Св.10 Разложение изображения и оригинала в ряды.
Пусть функция
голоморфна в некоторой окрестности
бесконечно удаленной точки и ее ряд
Лорана имеет вид :
.
Тогда оригинал
при
разлагается в ряд
с теми же коэффициентами
.
ДОК. Если ряд для изображения сходится
при
,
то для коэффициентов ряда Тейлора
функции
,
справедливо неравенство Коши :
,
где
.
Тогда частичные суммы ряда оригинала
в каждой точке
оцениваются :
.
Из последнего следует, что ряд
сходится в каждой точке
и является целой функцией. Если
действительное число, то функция
имеет ограниченный показатель роста и
является оригиналом (
при
).
Найдем его изображение :
см.
пример 3 лекция 51=
=
.
П. 4 Преобразование Лапласа и вычеты.
Св. 11 . Восстановление оригинала через вычеты.
Пусть функция
голоморфна на С за исключением конечного
числа изолированных особых точек
,
,
лежащих в полуплоскости
и 1)
при
2)
абсолютно сходится интеграл
.
Тогда функция
(3)
является оригиналом изображения
.
ДОК. Применим к изображению
формулу (5) лекция 51 :
.
Рассмотрим область
на плоскости, изображенную на рис.,
ограниченную дугой
окружности радиуса
с центром
в начале координат и хордой
.
Радиус
выберем
настолько большим, чтобы все точки
,
принадлежали области
.Тогда
По лемме Жордана в условиях теоремы
,
а
для любого
.
СЛЕДСТВИЕ. Если
- правильная дробь и
,
- нули знаменателя кратности
.
Тогда вычеты в полюсах
можно вычислить по формуле
(2) лекция 49 :
и оригинал
вычисляется по формуле :
.
(4)
В частности, если
-
простые полюса, то вычеты в них могут
быть вычислены по формуле (4) лекция 49 :
и оригинал
вычисляется по формуле :
.
(5)
Если функция
-
правильная дробь, причем все корни
многочлена
однократные,
то оригинал
вычисляется по формуле :
(6)
ПРИМЕР 3. Найти оригинал изображения :
.
РЕШЕНИЕ. У изображения два полюса
и
второго порядка. Вычеты в этих точках
вычисляем по формуле (4) :
Аналогично,
.
Тогда по формуле (4) :
=.
ПРИМЕР 4. Найти оригинал изображения :
.
РЕШЕНИЕ. У функции четыре полюса первого
порядка :
,
,
,
.
по
формуле (5)=
.
Аналогично,
.
,
.
.
Тогда
=
=
.
П.5 Применение операционного метода для решения дифференциальных уравнений.
ОПР. Линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами называют уравнение :
,
(7)
где
-
функция, определенная на полуоси
,
имеющая достаточное число производных
и удовлетворяющая начальным условиям
,
,
…,
.
Если функция
оригинал, то неизвестное решение
также оригинал и можно применить
преобразование Лапласа к правой и левой
частям уравнения (7). Тогда
,
где
изображение решения
,
многочлен
переменной
,
коэффициенты которого зависят от
начальных условий,
изображение функции
правой
части.
Обозначая через
- характеристический многочлен уравнения
(7), находим изображение неизвестного
решения задачи Коши :
.
Приведем таблицу изображений и оригиналов стандартных функций ( см. примеры) :
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
ПРИМЕР 5. Найти общее решение уравнения
:
и решение задачи Коши
с начальными условиями
,
.
РЕШЕНИЕ.
Преобразуем :
.
Тогда оригинал изображения общего
решения имеет вид :
,
здесь
,
- произвольные постоянные.
Подставляя начальные условия, получим
.
ПРИМЕР 6 Найти общее решение системы :
.
РЕШЕНИЕ. Применим преобразование Лапласа
:
.
Решая систему линейных уравнений,
получим
и
.
Оригинал восстанавливается по таблице
и с учетом того,
и
.
Тогда
и
,
где
- произвольные константы.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1. Свойства преобразования Лапласа. Формулы запаздывания и смещения.
2. Свертка и преобразование Лапласа. Теорема об умножении изображений. Интеграл Дюамеля.
3. Преобразование Лапласа и Ряды Лорана. Формула восстановления оригинала по ряду Лорана изображения.
4. Преобразование Лапласа и вычеты. Формула восстановления оригинала с использованием вычетов. Формула оригинала правильной дроби.
5. Применение преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами.