ТФКП2009 / Вопросы по курсу

Вопросы по курсу : «Теория функций комплексного переменного».

1. Комплексная плоскость, сфера Римана, метрики, топологии.

2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.

3. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Моногенность и

голоморфность функции в точке.

4. Производная функции комплексного переменного. Связь между моногенностью функции в точке и существованием у нее производной. Производная по направлению.

5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

6. Конформные отображения в точке, связь понятий конформности в точке и

моногенности функции. Конформность линейного отображения на С.

7. Дробно-линейная функция . Конформность отображения, осуществляемого

невырожденной дробно-линейной функцией, на .

8. Степенная функция , ее свойства : голоморфность, конформность, условие однолистности в области. Обратная к ней функция .

9. Функция Жуковского, ее свойства : голоморфность, конформность, условие однолистности в области. Конформное отображение внешности единичного круга на комплексную плоскость с разрезом по отрезку [-1;1].

10. Показательная функция , ее свойства : голоморфность, конформность, условие однолистности в области. Конформное отображение горизонтальной полосы на комплексную плоскость с разрезом вдоль положительной полуоси. Обратная функция и ее свойства.

11. Тригонометрические функции и , их свойства : голоморфность, конформность, условие однолистности в области. Конформное отображение полуполосы на верхнюю полуплоскость.

12. Тригонометрические функции и , их свойства : голоморфность, конформность, условие однолистности в области . Конформное отображение вертикальной полосы на внутренность единичного круга.

13. Функциональные ряды функций комплексного переменного. Основные понятия.

14. Произведение степенных рядов. Лемма об абсолютной сходимости произведения.

15. Представление показательной функции степенным рядом. Основное свойство

показательной функции.

16. Тригонометрические и гиперболические функции, их представление степенными

рядами.

17. Теорема о голоморфности суммы степенного ряда.

18. Следствия из теоремы о голоморфности суммы степенного ряда.

19. Понятие интеграла от функции комплексного переменного. Теорема существования

интеграла.

20. Свойства интеграла.

21. Понятие первообразной. Теорема о достаточных условиях существования первообразной.

22. Теорема о нуле интеграла по контуру треугольника от голоморфной функции.

Теорема о существовании локальной первообразной голоморфной функции в области.

23. Понятие первообразной вдоль пути. Теорема о существовании первообразной вдоль

пути.

24. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления интеграла вдоль пути.

25. Гомотопия путей. Теорема об инвариантности интеграла при гомотопии пути

интегрирования.

26. Теорема Коши об интеграле по пути гомотопному нулю. Теорема Коши об интеграле

по замкнутому контуру в односвязной области.

27. Теорема о существовании глобальной первообразной в односвязной области .

28. Обобщенная теорема Коши для многосвязной области.

29. Интегральная формула Коши.

30. Теорема Тейлора и ее следствия.

31. Теорема Лиувилля и ее следствие. Основная теорема алгебры.

32. Теорема Морера и эквивалентные условия голоморфности функции.

34. Теорема о нуле голоморфной функции. Порядок нуля.

35. Теорема о единственности голоморфной функции.

36. Теорема Вейерштрасса о голоморфности суммы функционального ряда.

37. Разложение голоморфных функций в кольце. Теорема Лорана.

38. Теорема единственности разложения функции в ряд Лорана.

39. Связь между рядами Фурье и рядами Лорана. Разложение периодических функций в ряд Фурье с помощью рядов Лорана. Пример.

40. Изолированные особые точки и их классификация.

41. Теорема о структуре ряда Лорана в окрестности устранимой особой точки.

42. Теорема о структуре ряда Лорана в окрестности полюса.

43. Теорема о структуре ряда Лорана в окрестности существенной особой точки.

44. Теорема Сохоцкого о свойствах функции , имеющей существенную особую точку.

45. Классификация бесконечно удаленной изолированной особой точки. Поведение функции и ее ряда Лорана в окрестности устранимой, полюсе и существенной особой точки .

46. Целые и мероморфные функции. Теорема о мероморфной функции на .

47. Вычет функции в изолированной особой точке. Теорема Коши о вычетах.

48. Связь вычета функции в изолированной особой точке с коэффициентом ряда Лорана в выколотой окрестности этой точки.

49. Формула для вычисления вычетов в полюсе порядка . Формула для вычисления вычетов в полюсе первого порядка.

50. Вычет функции в бесконечно удаленной точке. Теорема о полной сумме вычетов.

51. Формула для вычисления несобственного интеграла на вещественной оси от быстро убывающей функции.

52. Формула для вычисления несобственных интегралов на вещественной оси от быстро убывающих функций.

53. Формула для вычисления несобственных интегралов на вещественной оси от функции, имеющей особенности в конечных точках.