ТФКП2009 / Лекция 49

Лекция 49 . Вычеты .

П.1 Интегралы и вычеты.

ОПР. Вычетом функции в изолированной особой точке называют число

,

где - окружность достаточно малого радиуса . В силу гомотетии путей интеграл не зависит от , а зависит от свойств функции в окрестности особой точки.

ТЕОРЕМА 1 ( Коши о вычетах ).

Пусть голоморфная в области функция, где - множество ее изолированных

особых точек , и не имеющая особых точек . Пусть область такая, что . Тогда

(1)

Здесь суммирование производится по тем , для которых .

ДОК. Число выбрано настолько малым, что круги не пересекаются и принадлежат . Границы ориентированы против часовой стрелки ( см. рис ). Тогда область является многосвязной областью голоморфности функции и по теореме Коши :

.

Следующая теорема связывает понятие вычета с коэффициентами лорановского разложения в выколотых окрестностях особых точек.

ТЕОРЕМА 2. Вычет функции в изолированной особой точке равен коэффициенту в ее лорановском разложении в окрестности :

.

ДОК. Ряд Лорана на окружности сходится равномерно, поэтому его можно проинтегрировать : .

Согласно результату примера 2, лекция 44, , поэтому

и .

ЗАМЕЧАНИЕ. Если устранимая особая точка функции , то .

ФОРМУЛА для вычисления вычета в особой точке типа полюс порядка .

(2)

ДОК. Если функция имеет в точке полюс порядка , то ее лорановское разложение в окрестности имеет вид :

.

Тогда

=, где - бесконечно малая в точке . Переходя к пределу при получим формулу (2).

ЗАМЕЧАНИЕ. При формула (2) принимает вид : (3) .

Если полюс порядка 1 для функции возникает при условии , ,

,то

(4) .

Действительно, по формуле (3)

ОПР. Вычетом функции в бесконечно удаленной точке называют величину :

где - окружность большого радиуса , ориентированная по часовой стрелке.

Если разложение в ряд Лорана в кольце , то интегрируя ряд по ( на нем он сходится равномерно ), получим .

ТЕОРЕМА 3 ( О полной сумме вычетов ).

Пусть функция голоморфна на С за исключением конечного числа изолированных особых точек , . Тогда .

ДОК. Пусть - окружность столь большого радиуса, чтобы все , лежали внутри и ориентированная против часовой стрелки. Тогда по теореме 1

.

ПРИМЕР 1. Найти вычет функции в конечных изолированных особых

точках и в бесконечно удаленной.

РЕШЕНИЕ. В точке - полюс второго порядка и вычет в нем вычисляем по

формуле (2) : .

В точке - полюс первого порядка и вычет в нем вычислим по формуле (4) :

, , .

Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности :

.

Тогда и . К этому результату можно придти используя результат теоремы 4 : .

Следующий пример иллюстрирует применение теоремы Коши о вычетах для вычисления интегралов.

ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. Внутри окружности три существенных особых точки : ,

в которых требуется посчитать вычеты :

1) . . Поскольку функция голоморфна в окрестности точки , то ее вычет в этой точке равен нулю. Функция имеет коэффициент , т.е.

.

2) . . Поскольку функция голоморфна в окрестности точки , то ее вычет в этой точке равен нулю. Ряд Лорана функции

имеет коэффициент .

3) . . Поскольку функция голоморфна в окрестности точки , то ее вычет в этой точке равен нулю. Ряд Лорана функции

имеет коэффициент .

По теореме Коши о вычетах .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Вычет функции в изолированной особой точке. Теорема Коши о вычетах.

2. Связь вычета функции в изолированной особой точке с коэффициентом ряда Лорана в выколотой окрестности этой точки.

3. Формула для вычисления вычетов в полюсе порядка . Формула для вычисления вычетов в полюсе первого порядка.

4. Вычет функции в бесконечно удаленной точке. Теорема о полной сумме вычетов.