Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

ТФКП2009 / Лекция 46

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2014

Размер:

327.17 Кб

Скачать

☆

Лекция 46 Ряды Тейлора

П.1 Свойства голоморфных функций.

ТЕОРЕМА 1 ( Тейлора).

Пусть голоморфная функция в области и - произвольная ее точка.

Тогда в любом кругу функция разлагается в степенной ряд

, (1)

ДОК. Если , то и функцию можно разложить в степенной

ряд (геометрическая прогрессия) : ===.

Воспользуемся формулой Коши и возможностью интегрировать почленно степенной ряд

в круге его сходимости :

=,где

. (2)

ЗАМЕЧАНИЕ. С учетом того, что две окружности и из одного гомотопического класса, то коэффициенты (2) не зависят от того по какой окружности производится интегрирование.

ОПР. Степенной ряд (1) с коэффициентами (2) называется рядом Тейлора функции .

Отметим ряд следствий из доказанной теоремы.

СЛЕДСТВИЕ 1. Поскольку ряд (1) имеет сумму , то по доказанному .

Сравнивая выражение для коэффициентов с (2), получим :

(3)

т.е. голоморфная в области функция имеет бесконечное число производных в любой точке области и ее можно вычислить по формуле (3).

СЛЕДСТВИЕ 2 ( Неравенство Коши )

Если функция голоморфна в замкнутом круге и константа ограничивает значения на окружности : , то справедлива оценка для коэффициентов ряда Тейлора : для всех .

ДОК. Оценим коэффициент (2) :

СЛЕДСТВИЕ 3 (Теорема Лиувилля ).

Если функция голоморфна на всей плоскости С и ограничена на ней, то

ДОК. Если для всех и голоморфна в круге с любым значением . Тогда по неравенству Коши для любого , что возможно только при для , т.е. .

СЛЕДСТВИЕ 4. Если функция голоморфна на замкнутой комплексной плоскости , то

она постоянна.

ДОК. Голоморфность функции в бесконечно удаленной точке означает, что существует и конечен предел . Из этого следует, что : для .

В замкнутом круге функция ограничена в силу ее непрерывности. Таким образом, функция ограничена и голоморфна на С и по теореме Лиувилля она постоянная.

СЛЕДСТВИЕ 5. Производная голоморфной функции в области также голоморфна в .

ДОК. Сводится к доказанной в лекции 43 теореме 8 о голоморфности суммы степенного ряда в круге его сходимости и возможности дифференцирования степенного ряда без изменения области сходимости ряда.

Применяя это следствие несколько раз, можно утверждать, что производная любого порядка голоморфной функции является голоморфной в той же области.

СЛЕДСТВИЕ 6. ( Основная теорема алгебры )

Всякий многочлен , с коэффициентами из С имеет в С хотя бы один корень.

ДОК. Предположим противное : у него нет корней. Тогда функция голоморфна на С и ограничена на , поскольку . Тогда по теореме Лиувилля

и , что противоречит условию. Источником полученного противоречия явилось предположение об отсутствии у многочлена корней.

ТЕОРЕМА 2 (Морера).

Если функция непрерывна в области и интеграл по границе любого треугольника,

лежащего в , равен нулю, то функция голоморфна в .

ДОК. Пусть - произвольная точка и - круг, принадлежащий . Тогда по теореме 3 ( лекция 44) функция , является первообразной функции и . Тогда голоморфная функция в и ее производная

( следствие 5) также голоморфна.

УПРАЖНЕНИЕ. Можно ли в условии теоремы Морера отказаться от условия

непрерывности функции ?

РЕШЕНИЕ . Интеграл по любому треугольнику от функции равен нулю, при этом функция не только не является голоморфной в точке , но не является

даже непрерывной в этой точке.

Следующая теорема устанавливает свойства функций эквивалентные голоморфности.

ТЕОРЕМА 3. Следующие три утверждения эквивалентны :

( 1 ) Функция в некоторой окрестности имеет производную в смысле комплексного анализа.

( 2 ) Функция непрерывна в некоторой окрестности и интеграл от нее по границе любого треугольника равен нулю.

( 3 ) Функция разлагается в степенной ряд, сходящийся в некоторой

окрестности .

ДОК. ( 1 )( 2 ) ( теорема 3, лекция 44 ),

( 2 ) ( 3 ) ( теорема Морера + теорема Тейлора),

( 3 ) ( 1 ) ( теорема 8, лекция 43 )

П.2 Нули голоморфной функции.

ТЕОРЕМА 4. Если - нуль голоморфной функции , причем хотя бы для одного , то существует натуральное число и голоморфная в окрестности

точки функция , , для которых

, (4)

ДОК. Из голоморфности функции в точке следует, что она разлагается в ряд

, , причем и не все коэффициенты ряда равны нулю, т.е. существует такое, что при и . Тогда

где функция , ,

голоморфна ( теорема 3) в окрестности точки и .

ОПР. Число в (4) называется порядком нуля голоморфной функции.

Порядок нуля голоморфной функции равен наименьшему порядку ее производной, отличной от нуля в этой точке.

Напомним несколько понятий, связанных с областью .

ОПР. Множество называется открытым в , если все его точки внутренние, т.е. точка принадлежат вместе с некоторой окрестностью .

ОПР. Точка называется предельной для множества , если в любой окрестности существует точка . Множество замкнуто в , если оно содержит все свои предельные точки : .

ОПР. Под областью понимают открытое в С , связное множество, т.е. такое, которое нельзя разбить на два подмножества и , для которых и пусты.

ТЕОРЕМА 5 ( О единственности голоморфной функции ).

Если две голоморфные в функции и совпадают на множестве :

, , при этом множество содержит хотя бы одну предельную точку,

то , .

ДОК. Рассмотрим функцию , обращающуюся в нуль на множестве . Пусть - предельная точка для . Тогда существует последовательность : , для которой по непрерывности функции имеем : , т.е.

. Таким образом, множество замкнуто в . С другой стороны, по теореме 3 в точке функция либо имеет нуль конечного порядка, либо она тождественно равна нулю в некоторой окрестности . Первый вариант невозможен, поскольку

точка предельная и в ее окрестности находится бесконечное число нулей функции , что противоречит равенству (4). Таким образом, точка внутренняя для и множество открыто в . Открытое и одновременно замкнутое непустое множество должно совпадать с . Действительно, если открыто в и , то непустое, замкнутое множество : и . Если замкнуто, то - открыто и

, что противоречит связности . Источником противоречия послужило предположение о том, что непусто, т.е.  и .

ЗАМЕЧАНИЕ. Теорема 4 включает случай, когда предельная точка .

Следующая теорема устанавливает условия голоморфности суммы функционального

ряда и возможности его дифференцирования.

ТЕОРЕМА 6 (Вейерштрасса).

Если ряд , ( 5 ) из голоморфных в области функций сходится равномерно на любом множестве , то 1) - голоморфна в ;

2) ряд (5) можно почленно дифференцировать любое число раз.

ДОК. Пусть произвольная точка области и - круг, компактно принадлежащий , т.е. . Тогда ряд (5) сходится равномерно в и его сумма представляет собой непрерывную функцию в точке . Пусть - ориентированная граница произвольного треугольника . Тогда в следствии равномерной сходимости ряда (5) , его можно интегрировать по :