ТФКП2009 / Лекция 48

Лекция 48 Изолированные особые точки.

П.1 Классификация конечных изолированный особых точек.

ОПР. Точка называется изолированной особой точкой для функции , если у нее есть проколотая окрестность , в которой функция голоморфна.

Напомним, что выколотой окрестностью конечной точки называют множество :

=, а бесконечной - множество .

ОПР. Изолированная особая точка называется

1) устранимой, если ( конечный предел )

2) полюсом, если , т.е. .

3) существенной особой точкой, если не существует ( ни конечного, ни бесконечного ).

ПРИМЕР 1. Функция = в точке

имеет устранимую особую точку, поскольку .

Функция при натуральном имеет полюс в точке .

Действительно, .

Функция в имеет существенно особую точку.

Действительно, если , то . Если , то , т.е. функция предела не имеет.

ПРИМЕР 2. Функция имеет в точках , имеет изолированные особые точки типа полюс, а точка - особая точка, являющаяся предельной для последовательности полюсов и поэтому не является изолированной.

Характеристика изолированной особой точки функции связана с разложением функции в ряд Лорана в выколотой окрестности этой точки.

ТЕОРЕМА 1 ( О структуре ряда Лорана в окрестности устранимой особой точки)

Изолированная особая точка функции является устранимой в том и только в том случае, если ряд Лорана функции в окрестности этой точки не содержит главной части.

ДОК. Если устранимая особая точка, то существует конечный предел и

функция ограничена на окружности с достаточно малым :

для всех и всех . Воспользуемся неравенством Коши для коэффициентов ряда Лорана ( замечание , лекция 47 ): для любых

Если , то неравенство может выполняться при любых только при .

Тогда в разложении Лорана присутствует только правильная часть.

Если в лорановском разложении имеется только правильная часть, то это ряд Тейлора и его сумма голоморфна в круге и .

ЗАМЕЧАНИЕ. Если голоморфная в выколотой окрестности изолированной особой точки функция ограничена в этой окрестности, то особая точка - устранимая.

Действительно, в доказательстве теоремы 1 использовалась только ограниченность функции на окружностях .

Если у функции устранимая особенность, то ее можно доопределить в этой точке так, что она станет голоморфной в некотором круге .

ТЕОРЕМА 2 ( О структуре ряда Лорана в окрестности полюса ).

Особая точка типа полюс возникает у функции в том и только в том случае, если ее ряд Лорана содержит в главной части конечное (положительное) число слагаемых, т.е. .

ДОК. Если полюс, то существует и в некоторой выколотой окрестности функция . Тогда функция голоморфна в и в точке имеет устранимую особенность : . По теореме 1 для функции имеем :

( )

Тогда , причем функция голоморфна в некоторой окрестности точки и разлагается в ряд Тейлора :

… ( )

Тогда (1)

Обратно, если функция представляется рядом (1), то функция

= … голоморфна в окрестности точки и имеет в этой точке устранимую особенность : . Тогда функция голоморфна

в выколотой окрестности и , т.е. в точке - полюс.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из доказательства теоремы 2 следует, что точка является полюсом

функции в том и только в том случае, если функция , , голоморфна в окрестности и .

ОПР. Порядком полюса функции называют порядок нуля функции .

Порядок полюса совпадает с числом в ряде Лорана (1).

ТЕОРЕМА 3 ( О структуре ряда Лорана в окрестности существенно особой точки ).

Функция в точке имеет существенную особую точку в том и только в том случае, если главная часть ряда Лорана функции содержит бесконечное число слагаемых.

ДОК. Поскольку по условию функция голоморфна в выколотой окрестности точки ,

то она разложима в ряд Лорана. Если главная часть отсутствует, то это устранимая особая точка. Если число ненулевых слагаемых в главной части ряда конечно, то это полюс определенного порядка. Следовательно, если изолированная особая точка существенно особенная, то число ненулевых слагаемых в главной части не может быть конечным. Обратно, если число ненулевых слагаемых в главной части ряда Лорана бесконечно, то это не может быть устранимая особенность и полюс, т.е. предел

не может быть ни конечным, ни бесконечным и поэтому предела не существует.

Поведение функции в окрестности существенно особой точки определяет

ТЕОРЕМА 4 ( Сохоцкий ).

Если существенно особая точка функции , то для любого существует последовательность , для которой .

ДОК. Пусть . Если бы функция была ограничена в выколотой окрестности точки ,то эта точка могла быть только устранимой особенностью, а не существенной особой точкой. Из неограниченности функции следует, что , т.е. .

Пусть . Если существует окрестность , в которой для ,

то функция голоморфна в и имеет в точке существенную особенность. Действительно, и поэтому существование у предела

( конечного или бесконечного ) в точке приводит к существованию предела у .

Если функция имеет существенно особую точку, то она неограниченна в окрестности этой точки и существует , для которой . Тогда .

Наконец, если не существует окрестности , в которой , то и теорема доказана.

П.2 Классификация особой точки .

ОПР. Точка является изолированной особой точкой функции , если существует ее окрестность =, в которой функция голоморфна.

Функция голоморфна в , если функция голоморфна в некоторой выколотой окрестности точки .

Пусть - изолированная особая точка функции .

ОПР. Функция имеет точку устранимой особой точкой, если

( конечный предел ).

ОПР. Функция имеет в точке полюс, если (бесконечный предел ).

ОПР. Функция имеет в точке существенно особую точку, если у нее нет предела ( конечного или бесконечного ).

Из доказанного выше вытекают следующие утверждения :

1. Если устранимая особая точка для функции , то существует , для которого функция ограничена в окрестности .

2. Если особая точка типа полюс для функции , то функция ,

голоморфна в окрестности и .

3. Если - существенная особая точка для функции , то для любого существует последовательность , для которой .

Характеристики функций, имеющих изолированную особую точку , в терминах их ряда Лорана :

1. Бесконечно удаленная точка является устранимой особой точкой для голоморфной в функции тогда и только тогда , если ее ряд Лорана имеет вид :

.

2. Бесконечно удаленная точка является полюсом для голоморфной в функции тогда и только тогда , если ее ряд Лорана имеет вид :

.

Здесь - порядок полюса.

3. Бесконечно удаленная точка является существенной особой точкой для голоморфной в функции тогда и только тогда , если ее ряд Лорана

содержит в правильной части бесконечное число ненулевых слагаемых.

П.3 Целые и мероморфные функции.

ОПР. Функция называется целой, если у нее нет конечных особых точек, т.е.

единственной особой точкой целой функции является .

Если устранимая особая точка целой функции , то ограниченная, голоморфная на С функция. Тогда по теореме Лиувилля ( лекция 46 )функция .

Если особая точка типа полюс целой функции , то ее правильная часть является многочленом , тогда функция также целая ( многочлен в конечной комплексной плоскости особых точек не имеет) , причем точка - ее устранимая особая точка . Тогда и . Таким образом,

Целыми функциями , имеющими точку своим полюсом, являются только многочлены.

ОПР. Целые функции , имеющими существенной особой точкой, называются трансцендентными.

ПРИМЕР 2. Функции , , являются трансцендентными.

ОПР. Функция называется мероморфной, если на комплексной плоскости С у нее нет особых точек кроме полюсов.

Целые функции составляют подкласс мероморфных, поскольку у них вовсе нет особых точек на С.

Мероморфные функции имеют не более, чем счетное число полюсов на С. Действительно, Если в круге мероморфная функция имела бы бесконечное число полюсов, то в этом же круге у этих полюсов была предельная точка, также особая, но не изолированная.

Последнее противоречит мероморфности функции. Таким образом, в каждом конечном круге число полюсов мероморфной функции конечно, а значит общее их множество не более, чем счетно.

ТЕОРЕМА 5 ( О рациональной функции )

Если мероморфная функция не имеет других особенностей, кроме полюсов на плоскости , то - рациональная функция ( является отношением двух многочленов ).

ДОК. Функция, удовлетворяющая условием теоремы, может иметь на не более, чем конечное число особых точек типа полюсов. Действительно, если таких полюсов бесконечно, то на существует их предельная точка, являющаяся неизолированной особой точкой, каких у мероморфной функции быть не может.

Пусть , конечные полюса функции и

(2)

главные части их лорановских разложений в выколотых окрестностях этих точек.

Пусть - главная часть разложения функции в точке .

Тогда функция не имеет особенностей на , поэтому по теореме Лиувилля . Тогда . Последнее означает, что мероморфная на функция является суммой многочлена

( целая часть рациональной функции) и простейших дробей вида (2), т.е. является рациональной функцией.

ЗАМЕЧАНИЕ. Доказанная теорема устанавливает известный из курса действительного анализа факт : любую рациональную функцию можно представить в виде суммы многочлена и простейших дробей.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Изолированные особые точки и их классификация.

2. Теорема о структуре ряда Лорана в окрестности устранимой особой точки.

3. Теорема о структуре ряда Лорана в окрестности полюса.

4. Теорема о структуре ряда Лорана в окрестности существенной особой точки.

5. Теорема Сохоцкого о свойствах функции , имеющей существенную особую точку.

6. Классификация бесконечно удаленной изолированной особой точки. Поведение функции и ее ряда Лорана в окрестности устранимой, полюсе и существенной особой точки .

7. Целые и мероморфные функции. Теорема о мероморфной функции на .