ТФКП2009 / Лекция 45

Лекция 45 Основные теоремы интегрального исчисления..

П.1 Первообразная вдоль пути.

ОПР. Пусть задана функция , , и непрерывный путь , , лежащий в области . Функция Ф называется первообразной функции вдоль пути , если 1) функция Фнепрерывна на , 2) для любого в окрестности функция имеет первообразную , причем для всех .

ЗАМЕЧАНИЕ. Если функция имеет первообразную во всей области , то

, является первообразной вдоль любого пути .

В общем случае, первообразная вдоль пути предполагает существование только локальной первообразной функции в каждой точке пути .

ТЕОРЕМА 1. ( О существовании первообразной вдоль пути )

Если функция голоморфна в области и , , - непрерывный путь

в , то у нее существует первообразная вдоль пути , определяемая с точностью до произвольной постоянной.

ДОК. Пусть разбиение отрезка , построенное с тем расчетом, что отрезки и пересекались

(см. рис.).

Для каждого существует открытый круг максимального радиуса ,

целиком лежащий в . Из непрерывности функции на отрезке следует, что

. Пусть -круги с центрами в точках с радиусами

, в которых функция по локальной теореме имеет первообразную , определенную с точностью до произвольной постоянной. Параметр разбиения выбирается столь малым, чтобы соседние круги и пересекались и образ . В круге первообразная выбирается произвольной, к круге

первообразная на пересечении отличается от на константу, поэтому

константу подбирают так, что для . Продолжая процесс, на пересечении кругов первообразные и выбираются тождественно

равными. Тогда - первообразная функции вдоль пути . Покажем, что первообразная вдоль пути определяется с точностью до произвольной постоянной. Пусть и две такие первообразные и .

Тогда в окрестности точки существуют локальные первообразные и ,

для которых = и =для . Первообразные и

отличаются на константу, поэтому функция - локально постоянна на отрезке , т.е. постоянна на всем отрезке .

ТЕОРЕМА 2. ( Формула Ньютона-Лейбница)

Если , - гладкий путь, функция непрерывна на и имеет первообразную вдоль пути , то .

ДОК. Пусть функция имеет первообразную в области и путь . Тогда

, и .

В общем случае, путь можно разбить на конечное число «кусков» , , каждый из которых лежит в области , где

у функции есть первообразная и для . Тогда .

ПРИМЕР 1. Функция голоморфна в области , но не имеет

первообразную во всей области.

РЕШЕНИЕ. Предположим противное – такая первообразная есть. Рассмотрим путь

, вдоль которого существует первообразная и, согласно теореме 2, . С другой стороны, . Полученное противоречие

указывает на то, что предположение о существовании первообразной было неверным.

П.2 Первообразная голоморфной функции в односвязной области.

ОПР. Два пути и лежащие в , с общими концами и называются гомотопными в области , обозначение , если существует семейство путей ,, непрерывно зависящее от параметра и удовлетворяющее условиям :

1) При и путь совпадает с и соответственно.

2), для всех .

3) для всех и

Если А = В , то путь называется замкнутым.

ЗАМЕЧАНИЕ. Параметризация пути , использующая отрезок , не является ограничением общности, поскольку любой отрезок можно преобразовать в

линейным преобразованием, а интеграл , как было показано выше, не зависит от способа параметризации.

Класс путей гомотопных называют его гомотопическим классом. В частности, класс путей гомотопных точке ( ) называют нулевым гомотопическим классом.

Очевидно, что два пути с общими концами гомотопны , если замкнутый путь гомотопен нулю.

ОПР. Область называется односвязной, если любой замкнутый путь , лежащий в ,

гомотопен нулю.

ТЕОРЕМА 3. ( Об инвариантности интеграла при гомотопии пути интегрирования)

Пусть функция голоморфна в области и пути  гомотопны в ( как пути, имеющие общие концы, или как замкнутые пути). Тогда .

ДОК. Рассмотрим единичный квадрат и его разбиение на прямоугольники, порожденное разбиением отрезка . Каждый элемент разбиения преобразуем

с помощью преобразования подобия с центром в точке ( центр прямоугольника ) и коэффициентом . Обозначим через =. Здесь - отрезки проекции на оси os и ot. Прямоугольники пересекается с соседними , и и в объединении составляют . Отображение : квадрата непрерывно по определению гомотетии, поэтому для любой точки существует круг радиуса

с центром в точке , причем . Рассмотрим систему кругов с центрами в точках радиуса , внутри которых по локальной теореме существует первообразная функции . Если параметр разбиения достаточно мал, то

1) , 2) круг пересекается кругами , и ,

3) объединение кругов содержит для всех . Рассмотрим процесс

«сшивания» первообразных, использованный в доказательстве теоремы о существовании первообразной вдоль пути (теорема 1) . Фиксируем и . Пусть -произвольная первообразная в круге . На пересечении кругов первообразные и отличаются на константу, поэтому выбираем ту первообразную (единственным образом), для которой = при

. Аналогично выстраиваем всю цепочку: = для . Все первообразные , определяются однозначно, кроме , которая определяется с точностью до произвольной постоянной.

Функция непрерывна в полосе по построению первообразных , гомотетии и определена с точностью до произвольной постоянной. Теперь повторим процесс «сшивания» для функций по полосам , которые пересекаются с соседними и .

Константу в функции выбираем произвольно. Поскольку функции и на пересечении отличаются на константу, то выбирается

(однозначно) такой, что = в полосе . Если функция

выбрана, то выбирается такой, что = в полосе для

.

Функция непрерывна на и при фиксированном представляет собой первообразную вдоль пути . На основании формулы Ньютона-Лейбница (теорема 2) . Если концы путей фиксированы : , то функции ,

постоянны на отрезках . С учетом непрерывности функций и по переменной и их кусочно-постоянства на пересекающихся отрезках и

заключаем, что и постоянны на , т.е.

.

Если пути  замкнуты, то для и функция - =

= для кусочно-постоянная . С учетом ее

непрерывности по переменной и кусочно-постоянства на пересекающихся отрезках

и , функция - постоянна на и теорема доказана.

ТЕОРЕМА 4 ( КОШИ).

Если функция голоморфна в области , то ее интеграл по любому замкнутому пути , гомотопному нулю в этой области, равен нулю :

, если .

ДОК. По условию теоремы путь гомотопен пути ,. Существует круг , в котором голоморфная функция имеет первообразную ( локальная теорема) и существует , для которого для всех .

Тогда - первообразная вдоль пути и по формуле Ньютона-Лейбница

, поскольку путь замкнут : . Тогда по теореме 3 .

ТЕОРЕМА 5 ( КОШИ).

Если функция голоморфна в односвязной области , то ее интеграл по любому

замкнутому контуру в равен нулю.

ДОК. Поскольку любой замкнутый путь в односвязной области гомотопен нулю, утверждение теоремы следует из теоремы 4.

ТЕОРЕМА 6 ( О глобальной первообразной в односвязной области) .

Всякая голоморфная в односвязной области функция имеет в этой области первообразную.

ДОК. Пусть , и - путь соединяющий эти точки. Обозначим через

. Покажем, что значение зависит от точек и , но не зависит