ТФКП2009 / Лекция 42

Лекция 42 Элементарные функции.

П.1 Степенная функция , натуральное число.

Функция голоморфна на С , имеет производную в любой точке , осуществляемое ей отображение конформно в каждой точке и .

Если , то , где . Если и при этом , то : только при или , т.е. . Таким образом, функция однолистна на , если в нет двух точек, разность аргументов которых

кратна . Такими областями являются, например, сектора

, ,

которые функцией отображаются на комплексную плоскость с разрезом вдоль положительной полуоси .

У функции имеются обратных функций ( или одна многозначная обратная функция) определенных на комплексной плоскости с разрезом вдоль положительной полуоси , принимающих значения в , , для которых . Их называют ветвями функции - корня - степени из комплексного

числа . Значения этих функций определяются формулами :

для любого . , .

Функция называется главным значением корня, остальные ветви связны с

соотношением :

ПРИМЕР 1. Найти голоморфную функцию, отображающую единичный полукруг на верхнюю полуплоскость .

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим цепочку преобразований :

(1) (2) (3) (4)

(1) преобразует полукруг в единичный круг. (2) преобразует единичный круг в круг с центром в точке радиуса ½. (3) преобразует полученный круг в полуплоскость . (4) преобразует эту полуплоскость в . Объединяя их, получим : .

П 2. Функция Жуковского .

Функция голоморфна на , имеет производную , отличную от нуля во всех точках . В силу этого отображение, осуществляемое функцией Жуковского, конформно в каждой конечной точке комплексной плоскости.

Проверим условие однолистности : если , , то бывает при

, т.е. однолистность достигается при условии . Если - внешность единичного круга, то и отображение , осуществляемое функцией Жуковского, однолистно в . Выясним, что является образом

внешности единичного круга при этом отображении ? Для этого представим и

.

Тогда образом окружности является эллипс с полуосями и . При эллипс стремится к отрезку [-1;1], при эллипс приближается к окружности радиуса .

Таким образом, функция Жуковского осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение внешности единичного круга на комплексную плоскость с разрезом вдоль отрезка [-1;1] действительной оси.

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что образом нижнего полукруга при отображении Жуковского является верхняя полуплоскость .

П 3. Функция .

ОПР. .

Существование предела для любого следует из того, что

.

.

Таким образом, и при получим : .

Функция = голоморфна в любой точке и

, , т.е. .

Функция периодична с периодом : и конформно отображает полосу на комплексную плоскость с разрезом

вдоль положительной полуоси.

Отображение , осуществляемое функцией , однолистно в области , если в не существует двух точек и , для которых кратно . Такими областями являются , например, полосы вида , которые отображаются на комплексную плоскость с разрезом вдоль действительной полуоси .

Функция имеет бесконечное число обратных функций , , определенных на комплексной плоскости с разрезом вдоль положительной полуоси и принимающих значения в полосе , для которых . Они называются ветвями многозначной функции логарифма комплексного числа , среди которых - главная ветвь логарифма.

для любого ,

Тогда

и для любого

ПРИМЕР 2. Найти конформное отображение полуполосы на единичный круг с разрезом вдоль радиуса .

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим последовательность преобразований : 1) 2) . Первое - преобразует во внешность единичного круга с разрезом вдоль действительной полуоси . Второе – переводит внешность круга в его внутренность с

разрезом вдоль радиуса . Объединяя их, получим .

П.4 Тригонометрические функции.

ОПР. ,

Из определения показательной функции следует, что функции и периодические , голоморфные функции на всей комплексной плоскости. Справедливы привычные формулы для комплексной производной :

и .

Действительно, ,

.

Сохраняются обычные формулы тригонометрии : формулы приведения, сложения, двойных и половинных углов.

УПРАЖНЕНИЕ . Докажите, что из условия следует, что либо , либо .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. . Если ,

то . Если , то .

Условием однолистности функции на является отсутствие в области точек

, для которых , либо .

Например, область - вертикальная полуполоса, является областью однолистности функции . Во что отображает полуполосу синус ? Отображение является композицией четырех отображений :

1) 2) 3) 4) .

Действительно, .

Отображение 1) переводит вертикальную полуполосу в горизонтальную полуполосу :

( поворот на 90⁰ )

2) переводит в правый единичный полукруг

3) осуществляет поворот на 90⁰ по часовой стрелке, превращая его в нижний полукруг

4) отображает в верхнюю полуплоскость ( см. упражнение )

Аналогично, функция взаимно однозначно отображает полуполосу на нижнюю полуплоскость.

Действительно, и отображение переведет область в область , которую функция переведет в верхнюю полуплоскость. Наконец,

(симметрия относительно начала координат) отобразит верхнюю полуплоскость на нижнюю полуплоскость.

ОПР. ,

Из определения показательной функции следует, что функции и периодические , голоморфные во всех точках, где знаменатели дробей не равны нулю. Например, для котангенса для . Функции сохраняют обычные формулы дифференцирования :

, .

Действительно, .

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что равенство ()возможно только при условии : .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ( для тангенса) :

.

Областью однолистности функции является область , которая не содержит

точек и для любого . Такой областью является , например, полоса . Отображение, осуществляемое функцией , является композицией отображений :

1) 2) 3) .

Отображение 1) преобразует полосу в полосу

( подобие с коэффициентом 2 плюс поворот на угол 90⁰ против часовой стрелки ).

2) преобразует полосу в правую полуплоскость .

3) дробно-линейное отображение является композицией отображений : 3.1) ,

3.2) , 3.3) . Первое из них сдвинет на единицу вправо : , второе – подвергнет сдвинутую полуплоскость преобразованию инверсии с симметрией относительно действительной оси плюс подобие с коэффициентом 2 : , третье – сдвинет круг на единицу влево и совершит его поворот на 90⁰ против часовой стрелки.

Таким образом, функция однолистно и конформно отображает полосу на внутренность единичного круга.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Степенная функция , ее свойства : голоморфность, конформность, условие однолистности в области. Обратная к ней функция .

2) Функция Жуковского, ее свойства : голоморфность, конформность, условие однолистности в области. Конформное отображение внешности единичного круга на комплексную плоскость с разрезом по отрезку [-1;1].

3) Показательная функция , ее свойства : голоморфность, конформность, условие однолистности в области. Конформное отображение горизонтальной полосы на комплексную плоскость с разрезом вдоль положительной полуоси. Обратная функция и ее свойства.

4) Тригонометрические функции и , их свойства : голоморфность, конформность, условие однолистности в области. Конформное отображение полуполосы на верхнюю полуплоскость.

5) Тригонометрические функции и , их свойства : голоморфность, конформность, условие однолистности в области . Конформное отображение вертикальной полосы на внутренность единичного круга.