2. Вывод дифференциальных зависимостей между Mx, Qy и q

Дифференциальные зависимости между M_x, Q_y и q Между изгибающим моментом M_x, поперечной силой Q _у и внешней распределённой нагрузкой q существуют определённые зависимости. Рассмотрим консольную балку. Вырежем из этой балки на участке, загруженном равномерно распределённой нагрузкой q, элемент длиной dz. В сечениях этого элемента балки приложим внутренние силы. Составим уравнения равновесия этого элемента балки: Σm_o = - (M_X + dM_X ) + 0.5Q_Ydz + 0.5(Qy + dQ_Y )dz + M_X = 0; ΣΥ = qdz +Q_Y – (Q_Y + dQ_Y) = 0. Из первого уравнения, пренебрегая слагаемым второго порядка малости dQ_Ydz, получаем   То есть, функция поперечной силы является первой производной функции изгибающего момента по длине балки. Из второго уравнения имеем   Распределённая нагрузка – это первая производная функции поперечной силы по длине балки. При этом q считается положительной, если направлена вверх. Имея две дифференциальные зависимости, получаем третью 

3. Напряжение в поперечном сечении и на наклонных площадках при растяжении-сжатии

2.2 Напряжения в поперечных и наклонных сечениях Продольная сила N , возникающая в поперечном сечении (рис. 2.3) бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения. Продольная сила связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью:

Равномерно распределенные нормальные напряжения     , возникающие в поперечном сечении бруса при центральном растяжении-сжатии, равны отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

Рассмотрим напряжения в наклонных сечениях бруса (рис. 2.4).

       - угол между наклонным и поперечным сечениями;       - внешняя сила, действующая на брус;       - напряжения в точках наклонного сечения;       - внутренняя продольная сила наклонного сечения;       - площадь наклонного сечения.

Выведем формулы для определения напряжений в произвольных наклонных площадках.

Таким образом, при растяжении-сжатии наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях бруса. Поэтому расчет на прочность растянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в поперечных сечениях.

Правила знаков для нормальных напряжений Т.к. продольная сила N - следствие действия нормальных напряжений     в поперечных сечениях, то нормальные напряжения будут положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.

4. Деформации и перемещения при растяжении-сжатии и частные случаи

При растяжении и сжатии бруса меняются его продольные и поперечные размеры (рис.2.4).

Рис. 2.4

При растяжении:

Длина бруса меняется на   (удлинение),

Ширина бруса меняется на   (сужение).

При сжатии:

(укорочение)

(увеличение

Закон Гука выражает прямо пропорциональную зависимость между нормальным напряжением и относительной деформацией:

или, если представить в другом виде:

где Е - модуль продольной упругости.

Это физическая постоянная материапа, характеризующая его способность сопротивпяться упругому деформированию.

EF - жесткость поперечного сечения бруса при эастяжении-сжатии.

абсолютная деформация (см, м) относительная деформация безразмерная коэффициент поперечной деформации, коэффициент Пуассона l продольная продопьная b поперечная поперечная

Деформация бруса (растяжение ипи сжатие) вызывает перемещение поперечных сечений.

Рассмотрим три случая нагружения при растяжении.

В первом случае при растяжении бруса сечение n-n перемещается в положение n1-n1 на величину  . Здесь: перемещение сечения равно деформации (удлинению) бруса   =  l. (рис.2.5).

Рис. 2.5

Во втором случае растяжения (рис. 2.6)

Рис. 2.6

l-ый участок бруса деформируется (удлиняется) на величину  l1, сечение n-n перемещается в положение n1-n1 на величину  лев =  l1.

ll-ой участок бруса не деформируется, так как здесь отсутствует продольная сила N, сечение m-m перемещается в положение m1-m1 на величину

В третьем случае рассмотрим деформации бруса при схеме нагружения, представленной на рисунке (рис.2.7).

Рис. 2.7

В этом примере: перемещение сечения n-n ( лев) равно удлинению 1-ого участка бруса:

Сечение m-m переместится в положение m1-m1 за счет деформации 1-ого участка бруса, а в положение m2-m2 за счет своего собственного удлинения (рис.2.8):

Суммарное перемещение сечения m-m:

В данном случае:

Рис. 2.8

С использованием эпюры N получаем такой же результат (снимаем N с эпюры) (рис.2.9).

Рис. 2.9

Перемещение конца консоли можно получить, используя только внешние силы (2Р,Р). Тогда: