4. Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока b.

Составим систему уравнений на основе матрицы:

a11 a12

a21 a22

a₁₁ q₁+a₁₂ q₂ = v.

a₂₁ q₁+a₂₂ q₂ = v

q₁+ q₂=1

рассмотрим первое уравнение: a₁₁ q₁+a₁₂ q₂ = v.

a₁₁ q₁+a₁₂ (1-q₁ )= v.

а12+q1(а11-а12)=V

если q=0 V=a12

q=1 V=a11

аналогично для второго уравнения

1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].

2. В концах отрезка [0,1] проводим к нему 2 перпендикуляра: левый соответ. стратегии А₁ и правый, соотв.стратегии А₂.

3. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) элементы a₁₁ и a₂₁ первого столбца матрицы А

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] (как на вертикальной числовой оси) элементы a₁₂ и a₂₂ второго столбца матрицы А

5. Соединяем точки, изображающие элементы с одинаковыми первыми индексами, т.е. эл-ты, стоящие в одной и той же строке матрицы А: a₁₁ с a₁₂ и a₂₁ с a_22. В результате получаем отрезки a₁₁a₁₂ и a₂₁a_22.

6. Находим верхнюю огибающую отрезков a₁₁a₁₂ и a₂₁a_22.

7. Находим низшие точки верхней огибающей

8. Проектируем их ортогонально на горизонтальный отрезок [0,1]

9. Полученные проекции q⁰ определяют оптимальные стратегии Q⁰=(1-q₀,q₀)игрока B.

10. Ордината низшей точки огибающей равна цене игры V

11. нижний из двух концов верхней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть верхняя цена игры в чистых стратегиях ß

12. верхний из двух нижних концов отрезков есть нижняя цена игры в чистых стратегиях

4. Геометрический метод нахождения цены игры 2×n и оптимальных стратегий игрока a.

Решение игр размера 2xn или nx2 допускает наглядную геометрическую интерпретацию.

1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].

2. В концах отрезка [0,1] проводим к нему 2 перпендикуляра: левый и правый

3. На левом перпендикуляре вертикальной числовой оси от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем все элементы матрицы А стоящих в 1 строке

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все эл-ты матрицы А второй строки

5. Каждую пару точек, изображающих элементы a_1j a_2j j=1,…,n, стоящие в j ом столбце матрицы А, соединяем отрезком a_1j a_2j. Таким образом будут построены n отрезков, представляющих собой графики n линейных функций

H(P,B_j)=(a_2j-a_1j)p+a_1j, p принадлежит [0.1] j= 1,…,n

6. Находим нижнюю огибающую семейства отрезков (выпуклая вверх ломанная)

7. На нижней огибающей находим максимальную точку

8. Смешанная стратегия Р⁰=(1-р⁰, р⁰) является оптимальной стратегией игрока А.

9. Ордината наивысшей точки нижней огибающей является ценой игры V

10. Верхний из концов нижней огибающей (лежащей на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях

11. Нижний из концов верхней огибающей (лежащий на перпендикулярах) есть верхняя цена игры в чистых стратегиях

12. Элемент матрицы А, изображающая точка которого является нижней на перпендикуляре, где она лежит, и верхним концом отрезка, на котором она лежит, будет седловой точкой игры.