4. Смешанные стратегии. Функция выигрыша и цена игры в смешанных стратегиях.

Смешанная стратегия игрока – стратегия игрока, состоящая в случайном выборе им одной из своих чистых стратегий с определенной вероятностью, поэтому смешанную стратегию, например, игрока А, имеющего m чистых стратегий можно представить m-мерным вектором Р=(р₁,…,р_m), р_i , i=1,2,…m.

То же относится и к смешанным стратегиям игрока В: Q= (q₁, q_{2, …,}q_n ) q_j≥0 j=1,…,n ∑ q_j=1

Смешанной стратегией игрока называется совокупность его чистых стратегий с определёнными для них вероятностями выбора:

, , .

Функцией выигрыша игрока А в смешанных стратегиях называют функцию Н, заданную на декартовом произведении S_A*S_B множеств смешанных стратегий, ставящую в соответствие с каждой ситуации (P,Q)€ S_A*S_B в смешанных стратегиях средний выигрыш игрока А в этой ситуации, определяемый как Н(P,Q)= ∑(i=1 m)∑(j=1 n)p_ia_ijq_j

(P,Q)€S_A*S_B где Р=(p₁,…, p_m) Q= (q₁, q_{2, …,}q_n )

Для любой конечной матричной игры существуют нижняя и верхняя цены игры в смешанных стратегиях. Причем нижняя цена игры α и верхняя цена игры ß в чистых стратегиях, нижняя цена игры V верхняя цена игры V(верхн черта) в смешанных стратегиях удовлетворяют следующим неравенствам α≤ V≤ V(верхн черта)≤ß

Цена игры в смешанных стратегиях – общее значение нижней и верхней цены игры в смеш.стратегиях: V= относительно которых доказано, что они всегда существуют и равны.

Нижняя цена:

Верхняя цена игры:

4. Теорема о существовании показателей эффективности и неэффективности смешанных стратегий в антагонистической игре.

Для каждой смешанной (в частности, чистой) стратегии P € S_A игрока А существует (достигается) α (P, S_B)=min_{(Q € SВ)} H(P,Q). Число α (P, S_B) – показатель эффективности смешанной стратегии P€S_A игрока А относительно множества S_В смешанных стратегий игрока В.

Для каждой смешанной (в частности, чистой) стратегии Q € S_B игрока B существует (достигается) ß (Q, S_A)=max_{(P €SA)} H(P,Q). Число ß (Q, S_A) – показатель неэффективности смешанной стратегии Q € S_B игрока B относительно множества S_A смешанных стратегий игрока A.

Стандартным n-симплексом называется подмножество пространства действительных чисел, определяемое как

.

Его вершинами являются точки:

,

,

…

.

Стандартным n- симплексом называется подмножество пространства Rⁿ⁺¹ действительных чисел, где ∆ⁿ – множество точек t₀,…,t_n таких, что сумма t_i=1 и для любой координаты t_i≥0

Ограниченность симплекса – компакт (ограниченное замкнутое множество):

рассмотрим симплекс S_A (1 строчка)

норма любого элемента определяется по правилу (2 строчка)

Сначала покажем, что симплекс является ограниченным замкнутым множеством, т.е. компактом.

Рассмотрим симплекс

в евклидовом пространстве . Так как норма вектора в пространстве определяется следующим образом:

,

то для любой точки симплекса справедливо неравенство

,

означающее ограниченность симплекса .

Пусть последовательность точек

, ,

сходится к точке при . Так как сходимость в является покоординатной, то означает, что , . Поскольку , то и .

Так как для каждого k, то

.

Таким образом, предельная точка принадлежит симплексу , что доказывает его замкнутость.

Аналогично и симплекс – компакт в пространстве .

Ограниченность и замкнутость означает, что данный симплекс=компакту.

Если зафиксировать произвольную смешанную стратегию P€S_A, то функция выигрыша F(P,Q) ,будет функцией одного аргумента вектора Q, определенной на симплексе S_A. из F(P,Q)=∑∑pi aij qj что она непрерывна по аргументу Q на множестве смешанных стратегий игрока В то есть S_B. Непрерывная на компакте функция достигает своих нижней и верхней границ а значит для любой P€ S_A найдется хотя бы одна точка Q⁰€ S_B:α(P)=min F (P,Q)=F(P,Q⁰)