4. Критерий решения игры в чистых стратегиях.

Равновесие в антагонистической игре – устойчивая, седловая точка игры если она удовлетворительна для игроков А и В, то есть если выполняется aij0≤ai0j0≤ai0j или равенство показателя эффективности и показателя неэффективности αi0=ai0j0=ßj0

Теорема: для того, чтобы существовала цена игры в чистых стратегиях, т.е. для того чтобы нижняя цена игры равнялась верхней цене игры , необходимо и достаточно существование у матрицы этой игры седловой точки.

В игре без седловых точек ни у одного из игроков оптимальных стратегий нет. Т.е. задача в чистых стратегиях имеет решение, если сущ. седловая точка (в ситуации (Ai0, Bj0) выигрыш аi0j0 называют седловой точкой матрицы игры которая является минимальной в i- ой строке и j-ом столбце).

4. Доказательство α≤ß

Теорема: для элементов матрицы имеют место неравенства и следовательно нижняя цена игры не больше ее верхней цены в чистых стратегиях Если , то игра имеет решение в чистых стратегиях.

Докозательство:

α_i=min α_ij< α_ij<max α_ij= ß_i (i=1,…,m j=1,…n) по определению показателей эффективности игрока А и неэффективности игрока В

_{следовательно, доказано, значит оно и справедливо для αi≤ßj с номерами i=i0, j=j0 соответственно максиминной и минимаксной стратегии Ai0 и Bj0: αi0≤ßj0 чтд}

4. Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока A.

_{Ситуация (Ai0, Bj0) будет удовлетворительной для игрок А тогда и только тогда, когда его выигрыш ai0j0 совпадает с показателем неэффективности ßj0 стратегии Вj0 игрока В: ai0j0= ßj0, то есть будет максимальным в j ом столбце матрицы игры.}

4. Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока В.

_{Ситуация (Ai0, Bj0) будет удовлетворительной для игрок В тогда и только тогда, когда его проигрыш ai0j0 совпадает с показателем эффективности αi0 стратегии Ai0 игрока A: ai0j0= αi0, то есть будет минимальным в i ой строке матрицы игры.}

4. Равновесие в антагонистической игре. (необходимая и достаточная)

Ситуция называется равновесной или ситуацией равновесия, или устойчивой, или седловой, точкой игры, если она удовлетворительна для каждого из игроков А и В, т. е. выполняются неравенства: a_ij0≤a_i0j0≤a_i0j i=1,…,m j=1,..,n.

_{Ситуация (Ai0, Bj0) будет удовлетворительной для игрока А тогда и только тогда, когда его выигрыш ai0j0 совпадает с показателем неэффективности ßj0 стратегии Вj0 игрока В: ai0j0= ßj0, то есть будет максимальным в j ом столбце матрицы игры.}

_{Ситуация (Ai0, Bj0) будет удовлетворительной для игрок В тогда и только тогда, когда его проигрыш ai0j0 совпадает с показателем эффективности αi0 стратегии Ai0 игрока A: ai0j0= αi0, то есть будет минимальным в i ой строке матрицы игры.}

Или α_i0=a_i0j0=ß_j0. Выигрыш a_i0j0, соответствующий ситуации равновесия (А_i0, B_j0) называют седловой точкой матрицы игры. Он является минимальным в своей i-ой строке и максимальным в j-ом столбце.

Например:

	В1	В2	В3	αi
А1	0.7	0.5	0.3	0.3
А2	0.6	0.9	0.4	0.4
ßj	0.7	0.9	0.4	0.4

Элемент a₂₃=0.4 является седловой точкой , а ситуация А2, В3 удовлетворительной для обоих игроков => равновесная.