53. Стратегическая форма конечной игры с совершенной информацией

Отметим очень важное обстоятельство. Имея набор стратегий каждого игрока, мы можем построить нормальную, или стратегическую, форму данной игры.

Заранее определённую последовательность ходов игрока, выбранную им в зависимости от информации о ходах другого игрока и ходах природы, будем называть чистой стратегией этого игрока.

В том случае, если в игре нет случайных ходов, выбор игроком A и игроком B чистых стратегий однозначно определяет исход игры – приводит к окончательной позиции, где игрок A и получает свой выигрыш. Именно это обстоятельство позволяет сводить позиционную игру к матричной игре. Процесс сведения позиционной игры к матричной называется нормализацией позиционной игры.

Пример. Рассмотрим в позиционной форме обобщённую неантагонистическую игру двух игроков A и B с совершенной информацией.

У игрока A две чистые стратегии: – выбрать U, – выбрать D.

У игрока B четыре стратегии:

– , выбрать U при любом выборе игрока A;

– , выбрать U, если игрок A выбрал U и выбрать D, если игрок A выбрал D;

– , выбрать D, если игрок A выбрал U и выбрать U, если игрок A выбрал D;

– , выбрать D при любом выборе игрока A.

Дерево игры представлено на рис. 8.7.

Рис. 8.7

Здесь пары отражают выигрыши игроков в каждом из четырёх исходов игры. Нормализация игры даёт следующую таблицу выигрышей игроков:

	U
	D

53. Равновесие по Нэшу в конечной игре с совершенной информацией

(Принцип последовательной рационализации)

Теорема. В конечной игре с совершенной информацией существует равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.

Пример 6. Фирма E (entrant) – новичок – рассматривает вопрос о том, входить ли на рынок, где в текущий момент есть одна единственная укоренившаяся фирма I (incumbent). Если E решается на вход, то I может ответить двумя способами: она может предоставить вход, отдавая часть своих продаж, но, не изменяя цену, либо она может вступить в хищническую войну, которая приведёт к «драматическому» снижению цен. Дерево данной игры представлено на рис. 8.8.

Рис. 8.8.

Стратегии игрока E:

– не входить на рынок;

– входить на рынок.

Стратегии игрока I:

– объявить войну игроку E, если он вошёл в рынок;

– предоставить игроку E вход, отдавая часть своих продаж, но, не изменяя цену.

Соответствующая игре нормальная форма имеет вид:

		I
E		(0, 2)	(0, 2)
		(−3, −1)	(2, 1)

В этой игре две равновесных по Нэшу ситуации (0, 2) и (2, 1) в чистых стратегиях. Но первая из этих ситуаций представляет собой предсказание, не являющееся разумным. Для того, чтобы исключить ситуации типа мы рассмотрим принцип последовательной рационализации: стратегия игры должна предписывать оптимальный ход в каждой вершине дерева. Т.е., если игрок находится в некоторой вершине дерева, его стратегия должна предписывать оптимальный выбор, начиная с этой точки, при данных стратегиях его оппонентов. Согласно данному принципу стратегия не является оптимальной, поскольку равновесной по Нэшу ситуации соответствует стратегия . Если игрок E вошёл на рынок, оптимальным поведением игрока I будет предоставить возможность E действовать на рынке.

Итак, после того как E выбрал стратегию , оптимальной стратегией для игрока I будет . Теперь мы можем определить оптимальное поведение фирмы E до её входа на рынок. Это можно сделать, рассмотрев редуцированную позиционную форму, где после входа на рынок игрока E принятие решения игроком I заменено на соответствующие выигрыши, которые возникают при оптимальном его поведении (рис. 8.9).

Рис. 8.9.

В результате получаем простейшую задачу индивидуального решения, причём очевидным является решение игрока E войти на рынок.

53. Обратная индукция и конечные игры с совершенной информацией (основан на принципе последовательной рационализации) если игрок находится в некоторой вершине то его статегия должна предписывать оптимальный выбор, начиная с этой вершины, при данных стратегиях его оппонента.

Для того, чтобы внимательнее посмотреть на обратную индукцию в конечной игре с совершенной информацией, начнём с определения оптимального «действия» в последних вершинах дерева, где принимается решение (т.е. тех вершин, для которых «последователи» – это только терминальные вершины). Решение, принимаемое игроком в такой вершине, не зависит уже от стратегического взаимодействия и потому является простой задачей принятия решения. Затем мы может обратиться к «предпоследней» вершине и найти оптимальное решение там, предвидя, естественно, ход, который будет сделан в последней вершине. И так далее.

Рассмотрим следующий пример позиционной игры

Принимая оптимальные решения для третьего игрока в последних вершинах дерева, приходим к первой редуцированной игре следующего вида

Принимая оптимальное решение для второго игрока, получаем вторую редуцированную игру (

Игровая ситуация является равновесной по Нэшу. Игрок отклонившись в единоличном порядке от своей оптимальной стратегии может лишь ухудшить своё положение. Найденное решение игры проведено в соответствии с принципом последовательной рациональности.