46. Модель «проблемы общего»

Рассмотрим теоретико-игровую проблему, связанную с использованием некоторого общего ресурса. Данная проблема поставлена в следующей её интерпретации.

Пусть в игре участвуют K фермеров. Летом их козы пасутся на зелёном поле. Обозначим через – число коз у k-го фермера. Тогда численность всего стада будет составлять величину . Затраты на покупку и содержание козы равны величине c. Будем предполагать, что данная величина не зависит от количества коз в наличии у фермера. Стоимость одной козы определим как функцию .

Предполагая, что козе необходим определённый уровень пропитания для выживания, будем считать, что существует некоторое максимальное число коз, которое может прокормиться, . Тогда функция стоимости козы может быть описана следующим образом:

, если , но , если .

Весной одновременно и независимо фермеры выбирают, сколько заводить коз, т.е. определяют величину . Выигрыш k-го фермера определим с помощью функции .

Таким образом, если существует равновесная по Нэшу игровая ситуация , то величина должна максимизировать функцию в условиях существования оптимальной ситуации для других игроков .

Решив задачи оптимизации , для всех участвующих в игре фермеров, получим систему:

, , .

Решив эту систему, получим набор оптимальных по Нэшу стратегий игроков.

46. Оптимальность по Парето в бескоалиционных (неантагонистических играх).

Ситуация в бескоалиционной игре называется оптимальной по Парето, если не существует ситуации , для которой имеет место неравенство , .

Другими словами, в оптимальной по Парето ситуации игроки не могут совместными усилиями увеличить выигрыш кого-либо из них, не уменьшив при этом выигрыш кого-либо другого.

Подчеркнём формальное различие ситуации равновесия по Нэшу от ситуации, оптимальной по Парето: в первой ни один игрок, действуя в одиночку не может увеличить своего собственного выигрыша; во второй – все игроки, действуя совместно, не могут увеличить выигрыш любого игрока, не ухудшив положения другого или других игроков.

В равновесии по Нэшу соглашение о выборе фиксированной ситуации равновесия удерживает каждого игрока от отклонения от неё. В оптимальной по Парето ситуации отклонившийся игрок может в некоторых случаях получить существенно больший выигрыш. В то же время сильно равновесная ситуация , или , (строгие знаки неравенства) является и оптимальной по Парето.

Пример:

1;1	1-е;2
2;1-е	0;0

(1;1) оптимальная по парето

46. Позиционная форма игры

Позиционная игра – это бескоалиционная игра, моделирующая процессы последовательного принятия решений игроками в условиях меняющейся во времени и, вообще говоря, неполной информации.

Процесс самой игры состоит в последовательном переходе от одного состояния игры к другому, который осуществляется либо путём выбора игроками одного из возможных действий в соответствии с правилами игры, либо случайным образом. Право выбора первого хода в позиционных играх часто определяется случайным образом.

Состояния игры принято называть позициями (отсюда и название – позиционные игры), а возможные выборы в каждой позиции – альтернативами.

Характерной особенностью позиционной игры является возможность представления множества позиций в виде древовидного упорядоченного множества, которое называется деревом игры

Символы П, A и B в кружке указывает, кто из игроков, П, A и B, делает очередной ход. При этом символом П обычно обозначается ход в игре, осуществляемый не игроком, а каким-нибудь случайным механизмом. Например, в позиционной игре, представленной тут своим деревом, первый ход производится случайно.

Пользуясь графическим описанием игры, можно сказать, что процесс игры состоит в переходе от начальной позиции к окончательной через непосредственно следующие одна за другой промежуточные позиции.

Каждая окончательная вершина определяет единственную цепь (последовательность идущих друг за другом звеньев), связывающую начальную вершину сданной

Т акая цепь называется партией. Число различных партий равно числу окончательных вершин (позиций).

В каждой окончательной позиции задан числовой выигрыш игроков.

Различают позиционные игры с полной информацией и позиционные игры с неполной информацией.

В позиционных играх с полной информацией каждый игрок знает ту позицию дерева в которой он находится

В игре с неполной информацией позиция точно неизвестна, этот игрок знает лишь некоторое множество позиций в которых потенциально он может находиться на данном этапе(информационное множество игры)

53. Понятие о конечных играх с совершенной информацией.

Любая игра гамма называется конечной, если она содержит конечное число игроков, то есть k≠∞ из множества чистых стратегий S_k и F^k функции выигрышей k ого игрока Г={K, S_k, F^k}. В игре с совершенной информацией нету одновременного ходов игроков и все игроки наблюдают действия природы. Стратегией в позиционной игре называется полной на все шаги возможный план действий, который говорит, что игрок будет делать в каждом своем информационном множестве игры.