45. Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.

Обозначим набор смешанных стратегий s=(s₁, … , s_n) через σ=( σ₁, … , σ_n).

Ситуация (набор смешанных стратегий) σ=( σ₁, … , σ_n) является равновесием по Нэшу в игре ={А, {Σ^a}, { }}, если для любого а=1, …, n

где - альтернатива стратегии a-ого игрока , - игровая ситуация, которая сложилась в результате выбора своих стратегий всеми игроками кроме a-ого.

Однако существуют дополнительные условия, при которых ситуация в смешанных стратегиях является равновесной по Нэшу.

Пусть S_a⁺ S_a – множество чистых стратегий, которые игрок a играет с положительной вероятностью в ситуации σ=( σ₁, … , σ_n). Ситуация σ является равновесной по Нэшу в смешанном расширении игры Г тогда и только тогда, когда для всех a=1, 2, …, n

1. S_a⁺

2. S_a⁺, S_a⁺

Данные условия можно описать следующим образом:

1. Каждый игрок при данном распределении стратегий, которые играют его противники, безразличен между чистыми стратегиями, которые он играет с положительной вероятностью;

Эти чистые стратегии не хуже тех, которые он играет с нулевой вероятностью

46. Аналитическое решение биматричных игр 2×2

Задача поиска равновесных по Нэшу игровых ситуаций в биматричной игре может быть поставлена следующим образом: найти такую пару вероятностей , для которой при любых вероятностях , выполняются условия равновесия Нэша:

.

Эти неравенства достаточно проверить для чистых стратегий игроков, т.е. для случаев, когда переменные u и v равны нулю или единице. Здесь p – вероятность выбора своей первой стратегии первым игроком, q – вероятность выбора своей первой стратегии вторым игроком.

Для матрицы

функции выигрышей игроков имеют вид

,

.

Пусть , тогда первое неравенство системы можно переписать в виде

.

Если , тогда получаем

.

Рассматривая последовательно второе неравенство указанной системы при и , получаем

,

.

Объединяя полученные четыре неравенства, получим систему

или после алгебраических преобразований

Решение данной системы позволяет определять равновесия по Нэшу как в смешанных, так и в чистых стратегиях.

46. Геометрическое решение биматричных игр 2×2.

В биматричных играх размерности 2×2 появляется возможность построить графическую интерпретацию поиска равновесных ситуаций в игре.

Рассмотрим биматричную игру размерности 2×2:

,

или

и .

Очевидно, что смешанные стратегии игроков в случае игры 2×2 полностью описываются вероятностями p и q выбора игроками своих первых чистых стратегий. Вторые чистые стратегии выбираются, соответственно, с вероятностями 1 – p и 1 – q. Поэтому, поскольку и , каждая ситуация в смешанных стратегиях в биматричной игре 2×2 может быть представлена как точка в единичном квадрате. Другими словами, графически всякую ситуацию в смешанных стратегиях игры, например, некоторую , можно понимать как точку на единичном квадрате (рис. 2). Ситуациям в чистых стратегиях соответствуют вершины этого квадрата.

Рис. 2

Перепишем функцию выигрыша первого игрока в виде

.

Ожидаемый выигрыш первого игрока повышается (в зависимости от p), если

и уменьшается, если

,

поэтому лучшими ответами игрока 1 (среди всех стратегий, как чистых, так и смешанных), являются

, если ,

но

, если .

При , таком, что , ожидаемый выигрыш игрока 1 не зависит от его стратегий. В этом случае игроку 1 безразлично, выбрать ли одну из своих чистых стратегий, или же выбрать какую-нибудь смешанную стратегию . Это означает, что если , то смешанная стратегия является наилучшим ответом на смешанную стратегию при любом значении p от 0 до 1.

Аналогичные рассуждения можно провести и для второго игрока, основываясь на его функции выигрыша, записанной в виде:

.