Способы задания игр: Стратегическая(нормальная, матричная) и позиционная форма (форма дерева)

Позиционная игра – это бескоалиционная игра, моделирующая процессы последовательного принятия решений игроками в условиях меняющейся во времени и, вообще говоря, неполной информации.

43. Стратегическая форма игры. Чистые и смешанные стратегии игроков в бескоалиционных (неантагонистических) играх. Доминирование стратегий.

Матрица выигрышей двух игроков в бескоалиционной игре имеет следующий вид S= S^a x S^b:

a₁₁,b₁₁ …a_1n,b_1n

……

a_m1,b_m1….a_mn,b_mn

Если Si – конечное множество чистых стратегий игрока i, то смешанная стратегия ∂i : Si → [0,1] ставит в соответствие каждой чистой стратегии Si вероятность ∂i(Si) >= 0 того, что она будет играться, причем сумма всех вероятностей равна 1.

Существуют ситуации доминирования стратегий, т.е. ситуации, когда один из игроков никогда не будет применять одну стратегию в пользу другой, потому что та будет приносить ему больший выигрыш.

Итак, стратегии могут доминировать как строго, так и слабо.

Чистая стратегия k-го игрока строго доминируема (строго доминируется), если существует другая чистая стратегия такая, что для .

Чистая стратегия k-го игрока слабо доминируема (слабо доминируется), если существует другая чистая стратегия такая, что для .

Смешанная стратегия k-го игрока строго доминируема (строго доминируется), если существует другая чистая стратегия такая, что для .

Смешанная стратегия k-го игрока слабо доминируема (слабо доминируется), если существует другая чистая стратегия такая, что для .

44. Равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.

Равновесие по Нэшу достигается в классе неантагонистических игр, то есть когда интересы игроков не сходятся, хоть и не являются противоположными, в отличие от антагонистических игр. Набор стратегий s=(s1,sn) образует равновесие по Нэшу в игре , если для любого a=1, 2, …, n

,

где - альтернатива стратегии a-ого игрока , - игровая ситуация, которая сложилась в результате выбора своих стратегий всеми игроками кроме a-ого. Таким образом, равновесие по Нэшу – ситуация, при которой ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш при изменении только своего решения, когда остальные игроки решения не меняют. Рассмотрим ситуацию с 2 игроками. Игра «дилемма заключенного».Условие данной игры: пойманы 2 преступника, если на допросе оба они будут молчать и не расскажут про крупное преступление, что они совершили, то потери каждого будут равны -1 за предыдущие более мелкие преступления. Если один выдает второго, то его отпускают, а потери того, кто молчит, составят -9. Если же они оба рассказывают про крупное преступление, то потери каждого -6. Рассмотрим данную ситуацию без применения аналитического или геометрического подхода. Матрица:

(-1;-1) (-9;0)

(0;-9) (-6;-6)

Предположим, что равновесие Нэша – это ситуация (-1;-1), но мы можем заметить, что это не так, ведь если игрок 2 изменит свою стратегию с 1 на 2, то он улучшит свое положение с -1 до 0. Предположим тогда, что равновесие Нэша – это ситуация (-9;0), но игрок 1 может улучшить свое положение, изменив стратегию с 1 на 2, тогда оба игрока окажутся в ситуации (-6;-6), и именно она будет равновесной, ведь ни один из игроков меняя только свои стратегии, не может улучшить своего положения, лишь ухудшить его. Если применить аналитический подход, то также можно увидеть,что ситуация, когда оба игрока выбирают свои вторые стратегии будет равновесной. Составим функции выигрыша для обоих игроков:F^A(p,q)=p*[-q-9*(1-p)]+(1-p)*[-6*(1-q)]

F^B(p,q)=q*[-p-9*(1-p)]+(1-q)*[-6*(1-p)]

Далее составим систему:

p*[-q-9*(1-p)]+(1-p)*[-6*(1-q)]>=-6*(1-q)

p*[-q-9*(1-p)]+(1-p)*[-6*(1-q)]>=-q-9*(1-p)

q*[-p-9*(1-p)]+(1-q)*[-6*(1-p)]>=-6*(1-p)

q*[-p-9*(1-p)]+(1-q)*[-6*(1-p)]>= -p-9*(1-p)

Преобразуя эту систему, получим:

p*(2q-3)>=0

(1-p)*(-2q+3)>=0

q*(2p-3)>=0

(1-q)*(-2p+3)>=0

Решая игру в чистых стратегиях, рассмотрим, когда p=0, получим систему:

q<=3/2

q=0

q<=1

Отсюда следует, что q=0.Значит,ситуация, когда оба игрока выбирают свои вторые стратегии, является равновесной по Нэшу, т.е. (-6;-6) – равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.