25. Определение показателей оптимизма и пессимизма игрока, принимающего решения по критерию Гурвица относительно выигрышей.

Игра с природой – математическая модель принятия оптимальных решений в ситуации, когда одним из игроков является окружающий процесс принятия решения среда, называется «природой». При этом различают принятие решений в условиях риска и в условиях неопределённости.

В игре с природой действуют 2 игрока, причем только один из них действует осознанно. Этого игрока принято называть лицом принимающим решения(ЛПР). Иногда его называют статистиком, а теорию игр с природой – теорией статистических решений.

Природа является вторым участником игры, не являющимся ни противником, ни союзником ЛПР, поскольку она не действует осознанно против или за ЛПР, т.е. является объективной действительностью безразличной к результату игры.

v_i0*=max{α*max v_ij+(1-α)*min v_ij для выигрышей

v_i0*=min{α*min v_ij+(1-α)*max v_ij} потерь

Коэффициент оптимизма λ выбирается между 0 и 1, при этом если коэффициент равен 1, то критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (по пессимизму результата), если коэффициент равен 0, и 1 в критерий максимакса.

Число (1- λ) будет характеризовать меру пессимизма игрока А. Таким образом коэффициенты оптимизма и пессимизма в сумме дают единицу. С увеличением меры ответственности коэффициент λ стремится к нулю: чем серьезнее последствия ошибочных решений, тем больше желание ЛПР перестраховаться. А чем ближе λ к нулю, тем ближе (1- λ) к единице, т.е. тем больше пессимизма. И наоборот. Заметим, что при коэффициенте λ=0,5 видно нейтральность игрока в оценивании ситуации при выборе стратегии.

λ₁, λ₂,…, λ_n – числовые коэффициенты количественно характеризующие субъективную оценку игрока А в играх с природой.

Пусть bj=∑bij – сумма выигрышей, стоящих в j ом столбце матрицы B bj(с чертой сверху)=(1/m)*bj=∑bij – среднее значение выигрышей bij, стоящих в j – ом столбце матрицы В: b=∑bj=∑ⁿ_j=1∑_i=1^mbij- сумма всех выигрышей матрицы В. Таким образом b1≤b2≤…≤bn и b1≤b2≤…≤bn (с чертами сверху). В случае когда игрок А оценивает ситуацию как опасную, он естественно хочет подстраховаться и потому при выборе стратегии ведет себя достаточно осторожно, проявляя больше пессимизма, чем оптимизма. Поэтому показатель его пессимизма λp должен быть больше показателя оптимизма λо. Это может быть достигнуто, например, выбором невозрастающей последовательности коэффициентов λ1, λ2,…, λn, в частности, обратно пропорциональных средним выигрышам: λ1: λ2:…: λn=b^-_n: b^-_n-1:…: b^-_1. Так как неравенства можно переписать как b^-_n≥b^-_n-1≥…≥ b^-₂≥ b^-₁, то принцип выбора коэффициентов λj можно назвать «принципом невозрастания средних выигрышей». Выразим коэффициенты λj через выигрыши bij:

λ1/ λj=b^-_n/ b^-_n-j+1

λj= b^-_n-j+1/ b^-_n

₁₌ λ1/ b^-_n∑ b^-_n-j+1= λ1/ b^-_n∑ b^-_k откуда

λ1= b^-_n(∑ b^-_k)^-1

λ1=bn/b

λj= b^-_n-j+1/b

таким образом, выбирая в опасной ситуации коэффициенты λj в соответствии с принципом невозрастания средних выигрышей, видим, что j ый коэффициент λj представляет собой отношение суммы b_n-j+1 элементов

b_i,n_-j+1 стоящем в (n-j+1) – м столбце матрицы В, к сумме b всех ее элементов, то есть, коэффициент λj есть доля суммы элементов (n-j+1) – го столбца в сумме всех элементов матрицы В.

Если же игрок А преисполнен оптимизма то показатель его оптимизма должен быть больше показателя пессимизма. Это можно выразить выбором неубывающей последовательности коэффициентов по принципу неубывания средних выигрышей прямо пропорционально средним выигрышам : λ1: λ2:…: λn=b^-₁: b^-_2-1:…: b^-_n

λj=bj/b. для положительности коэффициентов достаточно чтобы все суммы выигрышей в каждом столбце матрицы В были либо положительными либо чтобы все они были отрицательными.