- •1. Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе.
- •2.Основные понятия и определения теории антагонистических игр.
- •Максиминный и минимаксный принципы игроков. Показатели эффективности и неэффективности чистых стратегий игроков.
- •Максимин и минимакс игры. Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цены игры в чистых стратегиях. Соотношение между ними.
- •Критерий решения игры в чистых стратегиях.
- •Равновесие в антагонистической игре. (необходимая и достаточная)
- •Смешанные стратегии. Функция выигрыша и цена игры в смешанных стратегиях.
- •Теорема о существовании показателей эффективности и неэффективности смешанных стратегий в антагонистической игре.
- •Теорема о существовании нижней и верхней цен игры в смешанных стратегиях.
- •Теорема о соотношении нижней и верхней цен игры в чистых и смешанных стратегиях.
- •Основная теорема матричных игр Джона фон Неймана и седловая точка функции.
- •Аналитическое решение игры 2×2 в смешанных стратегиях.
- •Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока a.
- •Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока b.
- •Геометрический метод нахождения цены игры 2×n и оптимальных стратегий игрока a.
- •Геометрический метод нахождения цены игры m×2 и оптимальных стратегий игрока b.
- •Доминирование смешанных стратегий для игрока a.
- •Доминирование смешанных стратегий для игрока в.
- •Решение матричной игры m×n сведением к задаче линейного программирования для игрока a.
- •Решение матричной игры m×n сведением к задаче линейного программирования для игрока b.
- •Основные понятия и определения теории игр с природой.
- •Игры с природой. Показатель благоприятности состояния природы. Риск игрока, принимающего решение. Матрица рисков. Принятие решений в условиях риска и неопределённости.
- •Критерий Байеса оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Критерий Байеса оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
- •Критерий Лапласа оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Критерий (крайнего пессимизма) Вальда оптимальности чистых стратегий.
- •Максимаксный критерий (крайнего оптимизма) оптимальности чистых стратегий.
- •Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Определение показателей оптимизма и пессимизма игрока, принимающего решения по критерию Гурвица относительно выигрышей.
- •Учёт выигрышей по критерию Гурвица крайним пессимистом, крайним оптимистом и нейтралом.
- •Вероятностная интерпретация коэффициентов критерия Гурвица.
- •Критерий Сэвиджа (критерий крайнего пессимизма).
- •Миниминный критерий.
- •Критерий Гермейера оптимальности чистых стратегий.
- •Критерий Ходжа – Лемана оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей
- •42. Понятие о бескоалиционных (неантагонистических) играх. Способы задания бескоалиционной игры.
- •Способы задания игр: Стратегическая(нормальная, матричная) и позиционная форма (форма дерева)
- •43. Стратегическая форма игры. Чистые и смешанные стратегии игроков в бескоалиционных (неантагонистических) играх. Доминирование стратегий.
- •44. Равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.
- •45. Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.
- •Модель дуополии по Курно.
- •Модель дуополии по Бертрану.
- •Модель «проблемы общего»
- •Оптимальность по Парето в бескоалиционных (неантагонистических играх).
- •Позиционная форма игры
- •Стратегическая форма конечной игры с совершенной информацией
- •Равновесие по Нэшу в конечной игре с совершенной информацией
- •Модель дуополии по Штакельбергу
- •Модель последовательного торга
- •Модель «инвесторы и банк»
Критерий Лапласа оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
Игра с природой – математическая модель принятия оптимальных решений в ситуации, когда одним из игроков является окружающий процесс принятия решения среда, называется «природой». При этом различают принятие решений в условиях риска и в условиях неопределённости.
В игре с природой действуют 2 игрока, причем только один из них действует осознанно. Этого игрока принято называть лицом принимающим решения(ЛПР). Иногда его называют статистиком, а теорию игр с природой – теорией статистических решений.
Природа является вторым участником игры, не являющимся ни противником, ни союзником ЛПР, поскольку она не действует осознанно против или за ЛПР, т.е. является объективной действительностью безразличной к результату игры.
«принципом недостаточного основания» Лапласа
Считаем cостояния природы равновероятными q1=…=qn=1/n .
Показателем эффективности стратегии Аi по критерию Лапласа относительно выигрышей называется среднее арифметической выигрышей i-й строки: vi0*= 1/n∑vij
Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно выигрышей считается стратегия Aio , показатель эффективности которой, вычисляемый по формуле (строка сверху) максимален, т.е. vi0*=max{1/n∑vij}
Очевидно, что критерий Лапласа относительно выигрышей есть частный случай критерия Байеса относит выигрышей при q1=…=qn=1/n .
Критерий Лапласа оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
Игра с природой – математическая модель принятия оптимальных решений в ситуации, когда одним из игроков является окружающий процесс принятия решения среда, называется «природой». При этом различают принятие решений в условиях риска и в условиях неопределённости.
В игре с природой действуют 2 игрока, причем только один из них действует осознанно. Этого игрока принято называть лицом принимающим решения(ЛПР). Иногда его называют статистиком, а теорию игр с природой – теорией статистических решений.
Природа является вторым участником игры, не являющимся ни противником, ни союзником ЛПР, поскольку она не действует осознанно против или за ЛПР, т.е. является объективной действительностью безразличной к результату игры.
Критерий Байеса относительно рисков при равновероятных состояниях природы
(оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно рисков является стратегия Аio, показатель неэффективности которой минимален, т.е. минимален средний риск.ri=min ri превращается в критерий Лапласа относительно рисков. Тогда величина 1/n∑rij представляет собой показатель неэффективности стратегии Аi по критерию Лапласа относительно рисков. Следовательно, оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно рисков является стратегия Аio, показатель неэффективности которой минимален ri0*=min{1/n∑rij}
Критерий (крайнего пессимизма) Вальда оптимальности чистых стратегий.
Игра с природой – математическая модель принятия оптимальных решений в ситуации, когда одним из игроков является окружающий процесс принятия решения среда, называется «природой». При этом различают принятие решений в условиях риска и в условиях неопределённости.
В игре с природой действуют 2 игрока, причем только один из них действует осознанно. Этого игрока принято называть лицом принимающим решения(ЛПР). Иногда его называют статистиком, а теорию игр с природой – теорией статистических решений.
Природа является вторым участником игры, не являющимся ни противником, ни союзником ЛПР, поскольку она не действует осознанно против или за ЛПР, т.е. является объективной действительностью безразличной к результату игры.
Критерий Вальда есть частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей со специальными коэффициентами λ1=1, λ2,…n=0
Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Вальда считается та стратегия, при которой минимальный выигрыш является максимальным среди минимальных выигрышей всех чистых стратегий. Т.о. оптимальная стратегия по критерию Вальда гарантирует при любых состояниях природы выигрыш, не меньший, чем максимин.
vi0*=max minvij для матрицы выигрышей
vi0*=min maxvij для матрицы потерь
критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, ибо ориентирует игрока А на наихудшее для него состояние природы и, следовательно, на крайне осторожное, осмотрительное поведение при выборе стратегий. Этот критерий уместен в тех случаях, когда игрок А не столько хочет выиграть, сколько не хочет проиграть. Принципов критерия Вальда часто пользуются в обиходе, что подтверждается поговорками, как «Бережённого Бог бережёт», «Лучше синица в руках, чем журавль в небе».