Основные понятия и определения теории игр с природой.
В игре с природой действуют 2 игрока, только один из которых действует осознанно – этого игрока называют лицом, принимающего решение (А). природа – второй участник игры не является ни союзником, ни противником игрока А, так как природа как сторона игры не действует осознанно злономеренно против игрока А, а принимает случайным образом одно из своих возможных состояний, не преследуя никаких конкретных целей. при этом игрок А не оказывает никакого влияния на состояние природы. В любой момент времени природа может находиться в одном состоянии. Множество состояний природы Sn={П1,П2,Пn}. Совокупность состояний природы формируется либо на основе имеющегося опыта, либо в результате предположений экспертов.
множество стратегий игрока A: SA={S1,S2, Sm}
vij- результат реализации стратегии активного игрока А при j состоянии природы.
Показателем благоприятности состояния Пj природы П для увеличения выигрыша называется наибольший выигрыш при этом состоянии, то есть наибольший элемент в j-ом столбце: ßj=max vij.
Риском
rij
игрока А при выборе им стратегии Аi
в условиях состояния Пj
природы
П называется разность между показателем
благоприятности
состояния природы природы Пj
и выигрышем vij
, т.е. разность между выигрышем, который
игрок А получил бы, если бы знал заранее,
что природа примет состояние Пj
,
и выигрышем, который он получит при этом
же состоянии Пj
,
выбрав стратегию Аi:
rij
=
.
Таким образом риск rij игрока А при применении им стратегии Аi есть упущенная им возможность максимального выигрыша при этом состоянии природы. Эта упущенная возможность определяется как невыигранная часть величины максимального выигрыша.
Т.е. Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой: не в виде матрицы выигрышей, а в виде так называемой матрицы рисков или матрицы упущенных возможностей.
rij
=
(
ГДЕ верхняя строка – матрица выигрышей,
нижняя – матрица потерь).
Принятие решений в условиях неопределенности:
Принятие решений в условиях неопределенности основано на том, что вероятности различных вариантов развития событий неизвестны. Принятие решений в условиях риска основано на том, что каждой ситуации развития событий может быть задана вероятность его осуществления.
Байес:
vi0*=max{∑vijqj},
vi0*=min{∑vijqj}
Критерий Лапласа относительно выигрышей (недостаточного основания):
vi0*=max{1/n∑vij}
vi0*=min{1/n∑vij}
Критерий Гермейера
vi0*=max min{ ∑vijqj}
vi0*= min max{ ∑vijqj}
Критерий Ходжа – Лемана
vi0*=max{гамма*∑vijqj+(1-гамма)*minvij},
vi0*=min{гамма*∑vijqj+(1-гамма)*maxvij},
в условиях неопределенности:
Гурвица
vi0*=max{α*max vij+(1-α)*min vij},
vi0*=min{α*min vij+(1-α)*max vij}
Вальда
vi0*=max minvij
vi0*=min maxvij
максимакс
vi0*=max max vij
vi0*=min minvij
Сэвиджа
ri0*=min max rij
Игры с природой. Показатель благоприятности состояния природы. Риск игрока, принимающего решение. Матрица рисков. Принятие решений в условиях риска и неопределённости.
Игра с природой – математическая модель принятия оптимальных решений в ситуации, когда одним из игроков является окружающий процесс принятия решения среда, называется «природой». При этом различают принятие решений в условиях риска и в условиях неопределённости.
В игре с природой действуют 2 игрока, причем только один из них действует осознанно. Этого игрока принято называть лицом принимающим решения(ЛПР). Иногда его называют статистиком, а теорию игр с природой – теорией статистических решений. Природа является вторым участником игры, не являющимся ни противником, ни союзником ЛПР, поскольку она не действует осознанно против или за ЛПР, т.е. является объективной действительностью безразличной к результату игры.
Описание игры с природой:
SП={П1, П2, … ,ПN } – множество состояний природы.
SA = { S1, S2, … ,SM} – множество стратегий решающего игрока.
матрица V отличается от матрицы антагонистической игры тем, что элементы столбцов не являются проигрышами природы при соответствующих её состояниях.
При решении вопроса о выборе возможной стратегии в игре с природой игрок А должен исходить из матрицы выигрышей. Однако матрица выигрышей не всегда адекватно отражает имеющуюся ситуацию. На выбор стратегии должны влиять ещё и показатели «удачности» и «неудачности» выбора данной стратегии при данном состоянии природы и благоприятности этого состояния для увеличения выигрыша.
Показатель благоприятности состояния природы:
Матрица выигрыша: βj = max (vij)
1≤ i ≤ m
Матрица потерь: βj = min (vij)
1≤ i ≤ m
Показатель благоприятности состояния Пj природы П для увеличения выигрыша называется наибольший выигрыш при данном состоянии природы, т.е. наибольший элемент в j-м столбце матрицы игры. Т.о. благоприятность состояния природы рассматривается как фактор, благоприятствующий увеличению выигрыша игрока А при этом состоянии природы. Для матрицы потерь – наименьший результат.
Риском rij игрока А при выборе им стратегии Аi в условиях состояния Пj природы П называется разность между показателем благоприятности состояния природы природы Пj и выигрышем vij , т.е. разность между выигрышем, который игрок А получил бы, если бы знал заранее, что природа примет состояние Пj , и выигрышем, который он получит при этом же состоянии Пj , выбрав стратегию Аi: rij = .
Таким образом риск rij игрока А при применении им стратегии Аi есть упущенная им возможность максимального выигрыша при этом состоянии природы. Эта упущенная возможность определяется как невыигранная часть величины максимального выигрыша.
Т.е. Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой: не в виде матрицы выигрышей, а в виде так называемой матрицы рисков или матрицы упущенных возможностей.
rij = ( ГДЕ верхняя строка – матрица выигрышей, нижняя – матрица потерь).
Принятие решений в условиях неопределенности:
Принятие решений в условиях неопределенности основано на том, что вероятности различных вариантов развития событий неизвестны. Принятие решений в условиях риска основано на том, что каждой ситуации развития событий может быть задана вероятность его осуществления.
Байес:
vi0*=max{∑vijqj},
vi0*=min{∑vijqj}
Критерий Лапласа относительно выигрышей (недостаточного основания):
vi0*=max{1/n∑vij}
vi0*=min{1/n∑vij}
Критерий Гермейера
vi0*=max min{ ∑vijqj}
vi0*= min max{ ∑vijqj}
Критерий Ходжа – Лемана
vi0*=max{гамма*∑vijqj+(1-гамма)*minvij},
vi0*=min{гамма*∑vijqj+(1-гамма)*maxvij},
в условиях неопределенности:
Гурвица
vi0*=max{α*max vij+(1-α)*min vij},
vi0*=min{α*min vij+(1-α)*max vij}
Вальда
vi0*=max minvij
vi0*=min maxvij
максимакс
vi0*=max max vij
vi0*=min minvij
Сэвиджа
ri0*=min max rij