1. Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе.

Во многих задачах финансово-экономической сферы, в частности, в задачах маркетинга, менеджмента, финансово-банковских операций, инвестиций в различные проекты и др. возникает необходимость принятия решения. Проблема принятия решения осложняется тем, что ее приходится решать в условиях неопределенности. Неопределенность может быть разного характера: например, конкурирующие на одном рынке фирмы осуществляют действия, приводящие к реализации своих интересов и препятствующие в этом конкурентам. Неопределенность может относиться и к ситуации риска, в которой сторона, принимающая решение, в состоянии установить не только всевозможные результаты всех решений, но и вероятности их проявления. Условия, о которых идет речь, влияют на принятие решений неосознанно, независимо от действий стороны, принимающей решения, и формируются из многих факторов.

В условиях полной определенности теоретические и практические выводы носят однозначный характер и, таким образом, представляют четкое описание ситуации в рамках рассматриваемой задачи. В условиях же недостаточной информированности или полной неопределенности результаты анализа уже не обладают такой четкостью и однозначностью.

Попытка количественного анализа финансово-экономических ситуаций и принятия на их основе решения привела к созданию специальных экономико-математических методов обоснования выбора решений в условиях рыночной неопределенности. Эти методы позволяют находить количественные характеристики экономических процессов, что влечет за собой возможность наиболее полного сравнения исследуемых явлений.

При выборе решения в условиях неопределенности всегда присутствует фактор действия наудачу без обоснованной уверенности в успехе. Он неизбежно присутствует в различных хозяйственных операциях (коммерческий риск), в выполнении предприятием определенного заказа (производственный риск), в выполнении фирмой финансовых обязательств перед инвестором (кредитный риск), в решении купить акции или другие ценные бумаги (инвестиционный риск), в решениях положить деньги в банк (финансовый риск). Математические методы обоснования решений дают возможность анализа вариантов решения с целью уменьшения риска, которое иногда достигается за счет получения дополнительной информации. Математизация содержательных финансово-экономических задач о принятии решениях в условиях неопределенности приводит к соответствующим экономико-математическим моделям и методам, теоретический аспект которых составляет теорию игр. Теория игр – раздел современной математики, изучающий математические модели принятия решений в конфликтных ситуациях.

Основными направлениями теории игр являются антогонистические (страховая компания, налоговая), неантогонистические (сдача экзамена для студента и преподавателя) и игры с природой (инвестиционный проект, посев урожая).

2.Основные понятия и определения теории антагонистических игр.

Игра, игрок, конфликт (игроки- заинтересованные стороны, интересы, действия), выигрыш, стратегия- действия игроков, цена игры, игровая ситуация. Любая игра характеризуется сторонами (не менее двух), интересами и их возможными действиями. В процессе игры каждый из участников конфликта выбирает свою стратегию, в результате складывается игровая ситуация. Заинтересованность игроков в той или иной ситуации проявляется в получении определенного выигрыша. В результате решения теоретико-игровой задачи может быть определена цена игры – характеристика, показывающая на какой стабильный выигрыш может претендовать принимая участие в данной игре. В теоретико- игровой модели считается заданным множество игроков: P={Pk:k=1.2…m} m≥2. Действия игроков S1, S2…Sm, Sk- множество стратегий k-ого игрока (каждый игрок имеет множество стратегий Sk, которое может быть как конечным, так и бесконечным). В основе рационального поведения игроков лежит постулат знания: каждый учатсник игры полностью информирован о своих стратегических возможностях и возможностях противника. Процесс игры – выбор каждого из игроков своих стратегий: s1€S1, s2€S2… sm€Sm. В результате выбора стратегий возникает игровая ситуация S=( s1, s2… sm). Множество S всевозможных игровых ситуаций образует ситуационное пространство игры: S=S1*S2*…*Sm. Степень заинтересованности игрок Pk из множества P в той или иной игровой ситуации определяется размером выигрыша: H¹(s), H²(s), H^m(s). H^k(s)= H^k(s1,s2,…,sm)- функция выигрыша.

Если SA={A1,A2,…, Am} – множество стратегий игрока А, Если SB={B1,B2,…, Bm} – множество стратегий игрока B, то множество игровых ситуаций игры:

(А1В1) (А1В2)… (А1Вn)

(А2В1) (А2В2)…. (А2Вn)

(АmВ1) (АmВ2)… (АmВn)

А= ||aij|| aij=H^A(Ai,Bj)

B= ||bij|| bij= H^B(Ai,Bj)

Любой элемент aij – результат реализации i- ой стратегии игрока А при условии, что В выбрал свою j-ую стратегию. Таким образом, платежная биматрица игры: (aij,bij)= (H^A(Ai,Bj), H^B(Ai,Bj) )

(a11b11) (a12b12)… (a1nb1n)

(a21b21) (a22b22)…. (a2nb2n)

(am1bm1) (am2bm2)… (amnbmn)

Антагонистическая игра это игра 2-х лиц с противоположными интересами. То есть если в конфликтной ситуации выигрыш одного игрока является проигрышем другого, то игры называются антогонистическими. Основоположник – Джон фон Нейман.

Система Г=(Х,У,H), где Х и У – непустые множества, и функция F: Х*У ->R¹ называется антагонистической игрой в нормальной форме. Элементы х⋲Х и у⋲У называются стратегиями игроков 1 и 2, элементы декартового произведения Х*У – ситуациями, а функция H – функцией выигрыша игрока 1. Для Антагонистические игры характерно, что выигрыш одного игрока равен проигрышу другого и наоборот, поэтому выигрыш игрока 2 в ситуации (х,у) полагается равным [-H(x,y)]. Функция H также называется функцией выигрыша самой игры Г, а игра Г – игрой с нулевой суммой: H^A: S_A*S_B→R, H^B: S_A*S_B→R, H^A(A_i,B_j)= -H^B(A_i,B_j), {S_A, S_B, H^A}

3.Функция выигрыша и матрица выигрышей. Чистые стратегии игроков. Принцип доминирования стратегий. Соотношение между матрицами выигрышей игроков A и B в парной антагонистической игре с нулевой суммой выигрышей.

Функция F (P,Q)=∑p_i∑a_ijq_j определенна на декартовом пространстве множеств (P,Q)€S_A*S_B и ставящая в соответствие с каждой игровой ситуацией средневзвешенный выигрыш игрока А и проигрыш игрока В.

Если на пересечении строк и столбцов расставить значения функции выигрыша F(А_i,B_j) = a_ij соответ. игровым ситуациям b_ij, то получим матрицу А, называемую платежной матрицей игрока А (для В: b_ij=H^B(A_i,B_j)).

А= ||aij|| aij=H^A(Ai,Bj)

B= ||bij|| bij= H^B(Ai,Bj)

Любой элемент aij – результат реализации i- ой стратегии игрока А при условии, что В выбрал свою j-ую стратегию. Таким образом, платежная биматрица игры: (aij,bij)= (H^A(Ai,Bj), H^B(Ai,Bj) )

(a11b11) (a12b12)… (a1nb1n)

(a21b21) (a22b22)…. (a2nb2n)

(am1bm1) (am2bm2)… (amnbmn)

Фактически антагонистическая игра характ. одной матрицей, поэтому она называется матричной.

Чистая стратегия игрока – стратегия, которую выберет игрок с вероятностью = 1.

Одним из способов редуцирования игр основывается на принципе доминирования, который позволяет в некоторых случаях игру с матрицей большего размера свести к игре с матрицей меньшего размера. Доминирование - ситуация, при которой одна из стратегий некоторого игрока дает больший выигрыш, нежели другая, при любых действиях его оппонентов.

Цель принципа доминирования – уменьшить размер матрицы, путем выбрасывания из рассмотрения тех стратегий, которые являются очевидно невыгодными.

Пусть матрица игры:

а₁₁ а_12… а_1n

а₂₁ а_22… а₂₁

а_m1 а_m2… а_mn

нестрогое доминирование:

i1 доминирует i2 в том случае, когда a_i1j≥ a_i2j

j1 доминирует j2 если для любого i, a_ij(1)≤a_ij(2) доминирующая для В та которая приносит наименьший проигрыш.

Игра с нулевой суммой: в антагонистической игре один из игроков выигрывает столько, сколько проигрывает другой, поэтому функции выйгрышей F^A:S^C_A*S^C_B→R и F^В:S^C_В*S^C_А→R соответственно игроков А и В связаны: F^В(Bj, Ai)=- F^A(Ai, Bj) i= 1…m

j=1…n, F^В(Bj, Ai) + F^A(Ai, Bj)=0 игры с двух сторон с нулевой суммой выигрыша

Взаимосвязь:

b11 b12 -a11 -a21

B= =-A^T=

b21 b22 -a12 -a22

q₁⁰=(b22-b21)/((b11+b22)-(b12+b21))=(-a22+a12)/((-a11-a22)-(-a21-a12))=(a22-a12)/((a11+a21)-(a12+a21))

q₂⁰=(b11-b12)/((b11+b22)-(b12+b21))=(-a11+a21)/((-a11-a22)-(-a21-a12))=(a11-a21)/((a11+a22)-(a12+a21))

V’=(b11*b22-b12*b21)/(b11+b22-b12-b21)=(-a11*(-a22)-(-a21)*(-a12))/(-a11-a22+a21+a12)=(a11*a22-a21*a12)/(a11+a22-a12-a21)=-V