1. Обобщенные силы в электромеханических системах

Для нахождения сил, действующих в электромеханических системах, часто используются уравнения Лагранжа, которые позволяют достаточно просто решать сложные задачи динамики несвободной системы. Такое упрощение оказывается возможным потому, что движение рассматривается при помощи обобщенных координат, т.е. любых рационально выбранных и независимых друг от друга аргументов, изменение которых полностью определяет движение. Так как число обобщенных координат определяется числом степеней свободы, которое для реальных технических систем обычно мало, то и число уравнений также оказывается малым.

В качестве обобщенных координат могут выбираться любые физические величины, которые определяют состояние рассматриваемой системы. Тогда обобщенную силу можно представить в обобщенном выражении работы, как коэффициент при обобщенном перемещении. Таким образом сила так же, как и координата, может иметь различную физическую природу. Уравнение Лагранжа для системы с рассеянием можно записать в следующей форме:

, (8.6)

где - обобщенная сила.

В реальных системах обычно происходит преобразование либо потенциальной, либо кинетической энергии. Гораздо реже одновременно преобразуются и кинетическая, и потенциальная энергия. В соответствии с этим рассмотрим три случая.

Система, обладающая только потенциальной энергией

Действие электростатических механизмов основано на преобразовании только потенциальной энергии. Для вычисления сил и моментов, возникающих в таких преобразователях, обобщенные силы могут быть найдены из общего выражения

. (8.7)

Если система обладает n степенями свободы, то для нее можно написать не одно, а n уравнений такого вида:

. (8.8)

Коэффициенты с_ik являются постоянными величинами.

В случае если рассматривается нелинейная система, потенциальная энергия также может быть выражена некоторой функцией обобщенных перемещений.

Рассмотрим для простоты систему с двумя степенями свободы и, следовательно, с двумя обобщенными координатами g₁ и g₂. Исходное уравнение энергии будет иметь вид

. (8.9)

Используя равенство (8.7), после дифференцирования уравнения (8.9) получим выражения для полных дифференциалов сил, т.е.

. (8.10)

Из уравнений (8.10) видно, что теперь коэффициенты с_ik становятся функци-

ями координат g_i.

Сравнивая уравнения (8.8) и (8.10 ), получим:

, (8.11)

т.е любой линейный преобразователь отличается от нелинейного тем, что коэффициенты с_ik перестают быть постоянными величинами и становятся функциями координат .

В случае нелинейных преобразователей, работающих с малыми перемещениями подвижной части, приходится прибегать к линеаризации равенств (8.10). Такая линеаризация означает, что в некоторой области около начальных значений координат g₁₀, g₂₀ коэффициенты c_ik принимаются постоянными.