Линейное (векторное) пространство

Множество А называется линейным векторным аффинным пространством, если

Каждым двум элементам множества А соответствует некоторый третий элемент, называемый их суммой и принадлежащий множеству А.

Для каждого элемента множества А и каждого числа из заданного числового множества существует элемент множества А, называемый произведением вектора на число.

Эти операции удовлетворяют следующим условиям:

x+y=y+x коммутативность

(x+y)+z=x+(y+z) ассоциативность

существует элемент 0 такой, что x+0=x

для каждого x существует элемент -x, такой что x+(-x)=0

1*x=x

a*(b*x)=(a*b)*x

(a+b)x=ax+bx

a(x+y)=ax+ay

Центральным понятием в линейной алгебре является понятие размерности линейного пространства, для которого используется определение линейной независимости векторов.

Система векторов линейного пространства называется линейно независимой если любая ее линейная комбинация, равная нулю имеет все коэффициенты нулевые.

Если найдется хотя бы одна линейная комбинация с отличными от нуля коэффициентами, равная нулю, то система векторов линейного пространства линейно зависима.

Можно показать, что в конечномерных пространствах все системы векторов состоящие из n+1 элементов и более линейно зависимы, но тем не менее существуют линейно независимые системы векторов, состоящие из n элементов. В таком случае число n называется размерностью линейного пространства.

Любая совокупность векторов, состоящая из n элементов векторного пространства называется базисом пространства.

Линейная зависимость и независимость системы векторов

Система векторов e1,e2, ..., ek линейного пространства L называется линейно независимой системой, если равенство С1·e1+С2·e2+ ...+Сk· ek = 0 возможно только когда все коэффициенты С1, С2, ..., Сk равны нулю.

Здесь 0 — нулевой вектор линейного пространства L, С1, С2, ..., Сk — числовые коэффициенты.

Если система векторов e1,e2, ..., ek линейного пространства L не является линейно независимой системой, то она называется линейно зависимой системой векторов.

Базис

Система векторов линейного пространства L образует базис в L если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор из L линейно выражается через векторы системы.

Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов e1, ..., en

образует базис в L если любой вектор x из L может быть представлен в виде

x = С1·e1+С2·e2+ ...+Сn· en.

Размерность

Число k называется размерностью линейного пространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любая система из k+1 вектора — линейно зависима.

Обозначается dimL = k. Пространство L называется k- мерным