22. Общее уравнение прямой второго порядка, окружность. Каноническое уравнение параболы, разновидности

Общее уравнение кривой 2 порядка

, рассматривается произведение  .

• Если   , то эллипс;

• Если   , то гипербола;

• Если   , то парабола.

Окружность

Каноническое уравнение параболы.

Парабола(рис. 4.16)

Пусть на плоскости заданы точка F и прямая  , не проходящая через F. Парабола - множество всех тех точек M плоскости, каждая из которых равноудалена от точки F и прямой  . Точка F называется фокусом, прямая   - директрисой параболы; (OF) - ось, O - вершина,   - параметр,   - фокус,   - фокальный радиус.

Каноническое уравнение: 

Эксцентриситет: 

Фокальный радиус: 

Уравнение директрисы: 

23. Получить уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку   перпендикулярно вектору  , называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости   вектор   ортогонален (перпендикулярен) вектору  , следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

или  .

Общее уравнение плоскости

После преобразования, уравнение

можно записать в виде  , приняв  , получаем общее уравнение плоскости . Уравнение плоскости в отрезках Если же общее уравнение плоскости является полным (т.е. ни один из коэффициентов не равен нулю), то его можно преобразовать к виду, называемому уравнением плоскости в отрезках , равны величинам отрез­­ков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

24. Получить общее уравнение плоскости. Частные случаи

О п р е д е л е н и е 1. Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение первой степени относительно трех переменных: х, у и z, т.е. уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0.               (3.21) Коэффициенты при х, у и z являются координатами вектора, который перпендикулярен плоскости (рис. 57).

Рис. 57

О п р е д е л е н и е 2. Всякий вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Если известна фиксированная точка M₀ (x₀, y₀, z₀), лежащая в данной плоскости, и вектор  , перпендикулярный данной плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ (x₀, y₀, z₀), перпендикулярно вектору  , имеет вид

A(x-x₀)+ B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0.                                                              (3.22)

Покажем, что уравнение (3.22) является общим уравнением плоскости (3.21). Для этого раскроем скобки и соберем в скобки свободный член:

Ax + By+ Cz + (-Ax₀ - By -Cz₀) = 0

ОбозначивD =  -Ax₀ - By -Cz₀ , получим уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору  , если A(4, -3, 1), B(1, 2, 3).

Р ешение. Найдем нормальный вектор плоскости  :

.

Для нахождения уравнения плоскости используем уравнение (3.22):

Частные случаи общего уравнения плоскости:

   1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

    2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

    3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

    4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

    5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

    6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

    7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

    8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

    9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

    10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

    11) z = 0 - плоскость Oxy;

    12) y = 0 - плоскость Oxz;

   13) x = 0 - плоскость Oyz.