64. Интегрирование простейших дробей 1-3 типов

Дробно-рациональной функцией называется функция вида Q_m(x)/P_n(x), где Q_m(x) и P_n(x) - многочлены степеней m и n типов.

Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из четырех типов:

I. A/(x-a), A,aͼR.

Пример:

3/(x-2) - число 2 является простым корнем знаменателя (повторяется один раз).

II.A/(x-a)^k , kͼN; A,aͼR.

Пример:

3/(x-2)² - число 2 является корнем знаменателя, и его кратность равна 2.

III.

Для начала представляем неопределенный интеграл   в виде суммы: 

Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала: 

Поэтому, 

У полученного интеграла   преобразуем знаменатель: 

Следовательно, 

Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид:

Пример:

1) (2х-7)/(х²+6х+25)⁴ - знаменатель имеет пару комплексных сопряженных корней, и кратность каждого корня равна 4.

2) Используем полученную формулу: 

Если бы у нас не было этой формулы, то как бы мы поступили: 

Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей типа 1-4.

65. Вычисление интегралов типа:

: Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

1. Подстановка sinx=t, если n-целое положительное нечетное число.

2. Подстановка cosx=t, если m-целое положительное нечетное число.

3. Формулы понижения порядка: cos^2x=1/2(1+cos2x),Sin^2x=1/2(1-cos2x), sinx*cosx=1/2sin2x, еслиm иn- целые неотрицательные четные числа

4. Подстановка tgx=t, если m+n– есть четное отрицательное целое число

66. Вычисление интегралов вида: * dx

67. Вычисление интегралов вида