62. Определение первообразной. Теорема о множестве первообразных. Определение неопределенного интеграла. Основные свойства, таблица интегралов

Первообра́зной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C, содержащая произвольное постоянное C, дифференциал которой равен подынтегральному выражению f(x)dx, т.е. или Функцию называют первообразной функции . Первообразная функции определяется с точностью до постоянной величины.

Напомним, что -дифференциал функции и определяется следующим образом:

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,  а, k, C - постоянные величины.









63. Интегрирование методом замены переменной. Формула интегрирования по частям. Случаи ее применения

Данный метод интегрирования заключается во введении новой переменной интегрирования, что позволяет свести исходный интеграл к табличному.

Пусть х=φ(t) - функция, определена и дифференцируема на некотором промежутке T, и пусть X - это множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, и на множестве Т справедлива формула:

ʃf(x)dx=ʃf(φ(t))dφ(t)=ʃf(φ(t))*φ'(t)dt

- это формула замены переменной в неопределенном интеграле.

На практике целесообразно подбирать подстановку в виде t=Ψ(x), dt=Ψ'(x)dx

и формула замены переменной примет вид:

ʃf(Ψ(x))*Ψ'(x)dx=ʃf(t)dt

Пример:

Интегрирование по частям.

Этот метод применяется в том случае, когда подынтегральная функция записана в виде произведения функций, принадлежащих разным классам интегральных функций, или является обратной тригонометрической функцией или логарифмической функцией.

Метод интегрирования по частям основывается на формуле вида:

ʃudv=uv- ʃvdu

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение f(x)dx представляется в виде udv. Обязательно последний содержит dx.

Два способа:

1) при отыскании v из dv

2) при отыскании интеграла от выражения

Случаи применения формулы:

I . ʃPn(x)*e^kxdx dv=e^kxdx

ʃPn(x)*a^kxdx dv=a^kxdx

ʃPn(x)*coskxdx u=Pn(x) dv=coskxdx

ʃPn(x)*sinkxdx dv=sinkxdx

I I. ʃPn(x)*arcsinkxdx u=arcsinkx

ʃPn(x)*arccoskxdx u=arccoskx

ʃPn(x)*arctgkxdx u=arctgkx dv=Pn(x)dx

ʃPn(x)*arcctgkxdx u=arcctgkx

ʃPn(x)*lnkxdx u=lnkx

I II. ʃe^axsinbxdx

ʃe^axcosbxdx вычисляется двукратным интегрированием по частям.

Пример: