Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ( Пеано)
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
-
Пусть функция
имеет 
производную в
некоторой окрестности
точки
, 
Пусть
Пусть
—
произвольное положительное число,
тогда:
точка 
при 
или 
при 
:
Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).
Различные формы остаточного члена
В форме Лагранжа:
Монотонные функции на интервале. Необходимый и достаточный признак монотонности. Пример исследования на монотонность
.Моното́ннаяфу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда отрицательное, либо всегда положительное[1]. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́гомоното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Пусть
дана функция 
Тогда
функция называется возраста́ющей на
,
если
.
функция называется стро́говозраста́ющей на , если
.
функция называется убыва́ющей на , если
.
функция называется стро́гоубыва́ющей на , если
.
(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.
Условия монотонности функции
(Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция
непрерывна
на 
и
имеет в каждой точке 
производную 
Тогда
не
убывает на 
тогда
и только тогда, когда 
не
возрастает на
тогда
и только тогда, когда 
(Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на и имеет в каждой точке производную Тогда
если 
то
строго
возрастает на 
если 
то
строго
убывает на 
Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале Точнее имеет место
(Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть
и
всюду на интервале определена
производная
Тогда
строго
возрастает на интервале
тогда
и только тогда, когда выполнены следующие
два условия:
Аналогично, строго убывает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
Примеры
Экспонента
строго
возрастает на всей числовой
прямой.Парабола
строго
убывает на 
и
строго возрастает на 
.Константа
одновременно
невозрастает и неубывает на всей
числовой прямой.Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.