52. Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа.

Теорема Ролля(о корнях производной): пусть f:[a;b]→R; f–непрерывна на [a;b]диференцируемана [a;b] причем f(a)=f(b), тогда существует хотя бы одна точка ϛ(а;b)такая что производная в этой точке будет =0 ; (ϛэ(а;b):f′(ϛ)=0) (ϛ – это точка кси)

Теорема Коши(о конечных приращениях):пусть заданы 2 функции fи g:[a;b]→R, причем g′(x)=0 на (а,b), тогда справедливо рав-во:(f(a)-f(b))/(g(a)-g(b))=f′(ϛ)/g′(ϛ) (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))= f′(ϛ)/g′(ϛ ) fи g– непрерывны и диференцируемы

Замеч.:1)из усл-я теоремы следует что g(a)≠g(b)т.к.в противном случае по теореме Ролля нашлась бы т.ϛ э(а;b) что g′(ϛ)=0(обратилась бы в ноль), это противоречит усл-ю теоремы

2)теорема Лагранжа – частный случай теоремы Коши.

Теорема Лагранжа(или формула конечных приращений):пусть f:[a;b]→R; f–непрерывна на [a;b]диференцируема на [a;b], тогда существует хотя бы одна т.ϛ э(а;b) такая что f(a)-f(b)= f′(ϛ)*(a-b)

f′(ϛ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

53. Правило Лапиталя, пример раскрытия неопределенности с помощью правила Лапиталя

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) таковы, что 1) они дифференцируемы во всех точках интервала (а, b), причем g'(x)   0, х   (а, b); 2)  3) существует (конечный или бесконечный) предел  =А, А- число Тогда предел отношения самих функций также существует, и он равен пределу отношения производных: =А Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) таковы, что 1) они дифференцируемы во всех точках интервала (а, b), причем g'(x)   0, х   (а, b); 2)  3) существует (конечный или бесконечный) предел  Тогда предел отношения самих функций также существует, и он равен пределу отношения производных: Теоремы 1 и 2 остаются справедливыми как для левосторонних пределов так и для правосторонних

54. Комплексные числа. Различные формы комплексных чисел. Арифметические действия

Комплексным числом z называется выражение следующего вида:

 Комплексное число в алгебраической форме,(1)

Где x, y Î;

i — это мнимая единица, определяемая равенством i2 = –1.

Основные термины:

x = Re z — действительная часть комплексного числа z;

y = Im z — мнимая часть комплексного числа z;

 — комплексно сопряженное число числу z;

Равенство комплексных чисел

;

Сложение (вычитание) комплексных чисел

 

z1 ± z2 = (x1 + iy1) ± (x2 + iy2) = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2),(5)

то есть при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части.

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

 

z1∙z2 = (x1 + iy1)∙(x2 + iy2) = x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + i2y1y2 = (6)

 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + y1x2),

Умножение комплексных чисел тригонометрической форме

Деление комплексных чисел

Деление — это обратная умножению операция, поэтому

если z×z2 = z1 и z2 ¹ 0, то  .

При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:

 Деление комплексных чисел в алгебраической форме .(7)

При выполнении деления в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются:

 Деление комплексных чисел в тригонометрической форме .(8)

Показательная форма комплексного числа

 

Показательной формой комплексного числа   называется форма

 Показательная форма комплексного числа,(11)

где .

Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по правилам действий со степенями:

,(12)

,(13)

,(14)

,  .(15)