49. Определение функции дифференцируемой в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции

Определение Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx). Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A . Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R . Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана.

Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке x0 называется главная линейная относительноΔx часть приращения функции Δy в данной точке.

Теорема Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную.

Связь дифференцируемости с непрерывностью функции в точке. Если функция y=y(x) дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке. Справедливость утверждения следует из Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx  и limΔx→0Δy=0, а по определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.  Обратное утверждение не верно.

Например, функция y=∣x∣  непрерывна в точкеx=0, но не дифференцируема в этой точке.  Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непрерывна.

50. Правила вычисления производных. Таблица производных различных функций

производные различных функций

51. Диференциал функции одной переменной. Инвариантность формы диференциала.Диференциал постоянного; суммы; произведения; частного.

Функция y=f(x)диференцируема в точке x₀тогда по определению дифер-ой функции ее приращение можно представить в виде: ∆y=A*∆x+o(∆x)∆x→0 , где А=f′(x₀). A*∆x – явл-сябеск. Малым одного порядка с ∆x при условии что ∆x→0 и А≠0: lim_∆x→0(A*∆x′)/∆x=A≠0 A*∆x – явл-ся главной частью приращения y=f(x)

Диференциаломy=f(x)в точке x₀ называется главная, линейная отн-но ∆xчасть приращенияфункциив точке x₀. Т.е.dy= A*∆x;dy= f′(x₀)*∆x

y=x, y′=1,тогда учитывая формулу dy=1*∆x=dx, dy= f′(x₀)*dxт.е. диференциал и приращение независимой переменной x будут равными dy=dx;диференциалфункции в точке x₀отличается от приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка, чем ∆x т.е.∆f(x₀)=∆y=A*∆x+o(∆x)∆x→0

∆f(x₀)= dy+o (∆x) ∆x→0,df(x₀)= dy;f(x₀+∆x) ≈f(x₀) + f′(x₀)*∆x

Инвариантность формы диференциала.

Пусть задана сложная функцияy=f(u), u=u(x) следовательно y=f(u(x)) из сказанного выше следует что dy=f′(x)*dxЕсли в кач-ве переменной рассмотреть u(x), то учитывая y′_x=f′_x*u′_xdy=f′(u)*du

Диференциал функции всегда есть произведение производной и диференциала аргумента и не зависит от того явл-ся ли величина по которой производная берется независимой переменной как в формуле dy=f′(x)*dx или же только промежуточным аргументом как в форм.dy=f′(u)*du

f′(x)=df(x) /dx df(x)=f′(x)*dx

пример: y=e^3xdy=( e^3x)′ *dxdy=3 e^3x *dx

св-ва:1)y=c dy=(c)′ *dx=0

2)d(u*v)=(u*v)′ *dx=vdu+udv

3)d(u/v)=(vdu-udv)/v²