43. Теорема о пределе суммы, произведений, частного, двух функций, предельные переходы в неравенствах

44. Сравнение бм и бб. Теорема о замене функций на эквивалентные при вычислении пределов. Два замечательных предела

45. Раскрытие неопределенностей ; ;

А)

Для того, чтобы раскрыть неопределенность   необходимо разделить числитель и знаменатель на X в старшей степени.

Также можно использовать правило лопиталя

Б)

Если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида  , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Либо воспользоваться методом умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Также можно использовать правило лопиталя

В) Неопределённость «бесконечность минус бесконечность» и «ноль умножить на беконечность»

Для решения таких неопределенностей нужно привести их к виду либо

либо , для этого есть несколько методов:

– приведение выражения под знаком предела к общему знаменателю;

– умножение/деление на сопряжённое выражение;

– преобразования логарифмов.

Г)

Неопределённость   можно устранить по формуле:

46. Определение непрерывности функции в точке и на отрезке, классификация точек разрыва, теорема о непрерывности

Определение непрерывности - функция  непрерывна в точке  , предельной для множества  , если   имеет предел в точке  , и этот предел совпадает со значением функции  .

Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

Точки разрыва

Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.

Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Функция f(x) =   имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

.

Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.  Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций  (с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций.

47. Свойства функций непрерывных в точке и на отрезке

48. О пределение производной, геометрический и физический смысл, вывод уравнения касательной и нормали к кривой

Геометрический смысл производной. Производная в точке х=x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке. (k=tg(альфа), k=f'(х₀))

Физический смысл производной

П усть у = f(х) – описывает закон движения материальной точки М по прямой линии, тогда у= f(х) — путь пройденный этим телом от начала отчета за время х. За время х₀ у₀=f(x₀),аналогично за время равное х₁. Тогда за промежуток времени х=х₁-х₀ точка пройдет путь у=f(x₁)-f(x₀)=f(x₀+▲x)-f(x₀) .

Отношение ▲y/▲х называются средней скоростью за время ▲х.