Умова допустимості пз
Забезпечення умови допустимості ПЗ еквівалентне забезпеченню умови оптимальності ДЗ (пам'ятаємо, що за умовами ПЗ вирішується ДЗ)
ДЗ (на мінімум) “Звичайна” умова оптимальності Вводимо ту змінну,
у якої
Зазвичай обираємо
(максимальна додатна) |
|
ПЗ Виводимо ту змінну,
у якої
Будемо обирати найбільшу за величиною від’ємну базисну змінну:
(мінімальна від’ємна) |
,
:
.
Умова оптимальності пз
Визначимо, як забезпечити виконання умови оптимальності ПЗ. При виконанні операції заміщення потрібно перейти до такого БР, для якого як і раніше виконуються умови оптимальності, але яке “більш допустиме”.
Базисні змінні
|
|
( |
|
|
|
|
Розв’язок |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
)
Спочатку відзначимо
наступне: коли
-й
небазисний вектор замінює
-й
базисний, то після застосування
перетворень Гауса відносна оцінка
-ої
змінної в новому БР буде рівна:
|
(7) |
.
В результаті операції заміщення наступна таблиця (перетворена задача) буде такою
Базисні змінні
|
|
( |
|
|
|
|
Розв’язок |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)
Для того, щоб по змінній виконувалась умова оптимальності, тобто вектор як і раніше був би 0, знаменник в співвідношенні (7) повинен бути від’ємний.
Визначимо коефіцієнт
за формулою, аналогічній формулі прямого
симплекс–метода (
),
але записаною з урахуванням того, що ми
застосовуємо прямий симплекс–метод
для двоїстої задачі за симплекс-таблицею
ПЗ:
|
( 8) |
.І нехай мінімум в (8)
досягається при
.
Це означає, що на цьому кроці в базис
повинна бути введена змінна
.
Дотримання умови (8) забезпечить виконання
умови оптимальності для решти небазисних
змінних. Розглянемо, що отримаємо, якщо
взяти більше значення параметра
,
ніж те, яке дає вираз (8), наприклад
значення, відповідне
.
Нехай
(знаменники <0),
,
.
і якщо
ввести в базис, то отримаємо таку відносну
оцінку для
:
,
і умова оптимальності розв’язку прямої задачі перестане дотримуватися.
Отже, при виконанні
умови (8) для наступного базисного
розв’язку виконуватиметься умова
оптимальності, тобто на наступній
ітерації всі компоненти
,
перераховані за формулою
будуть невід’ємні.
Таким чином, двоїстий симплекс-метод на кожному кроці забезпечує умову оптимальності розв'язку і систематичне наближення його до області допустимих розв’язків. Коли отриманий розв’язок виявляється допустимим, ітераційний процес обчислень закінчується, оскільки цей розв’язок є і оптимальним.