
- •14.2. Умови рівноваги вільного і невільного твердого тіла
- •Лекція 22
- •15. Принцип д’Аламбера-Лагранжа (загальне рівняння динаміки)
- •16. Рівняння Лагранжа іі-го роду
- •16.1. Узагальнені координати
- •16.2. Узагальнені сили і способи їх обчислення
- •16.3. Тотожності Лагранжа
- •16.4. Умови рівноваги механічної системи в узагальнених координатах
- •Лекція 23
- •16.5. Виведення рівнянь Лагранжа іі-го роду
- •16.6. Рівняння Лагранжа іі-го роду для консервативних систем
Лекція 23
16.5. Виведення рівнянь Лагранжа іі-го роду
Скористаємось загальним рівнянням динаміки
,
переписавши його у вигляді
|
(23) |
Перейдемо в останньому рівнянні до узагальнених координат, беручи до уваги вираз
,
або
|
(24) |
Перейдемо до узагальнених координат у тих членах рівняння (23), що залишилися. Спочатку перетворимо їх наступним чином:
.
Перетворимо
потім вираз, який стоїть у дужках, з
урахуванням тотожностей Лагранжа за
формулою диференціювання скалярного
добутку двох векторів (
):
(тут
,
;
далі використаємо у члені 1 першу
тотожність Лагранжа, змінюючи також у
всіх доданках порядок виконання операцій
додавання і взяття похідних)
.
Оскільки
являє собою кінетичну енергію
механічної системи, остаточно отримаємо
.
Таким чином,
|
(25) |
На підставі (24) і (25) загальне рівняння динаміки (23) набуває вигляду
|
(26) |
Оскільки варіації узагальнених координат є довільними і незалежними між собою, то, щоб співвідношення (26) виконувалось за будь-яких необхідно, щоб одночасно обертались в нуль всі коефіцієнти біля них:
|
(27) |
Рівняння (27) називаються рівняннями Лагранжа ІІ-го роду. Вони мають ряд переваг над рівняннями Ньютона, а саме:
їхня кількість мінімальна і дорівнює числу степенів вільності
(на відміну від рівнянь Ньютона, яких для системи із точок треба скласти );
реакції ідеальних в’язей в рівняння Лагранжа ІІ-го роду не входять;
їх зручно застосовувати для розв’язання задач, оскільки методика є добре алгоритмізованою;
форма запису цих рівнянь не залежить від конкретного вибору системи узагальнених координат.
Методика застосування рівнянь Лагранжа ІІ-го роду (27) полягає в наступному.
Визначити число степенів вільності системи і вибрати узагальнені координати.
Обчислити кінетичну енергію системи за аналізом рухів тіл, що її складають, і представити її як функцію узагальнених координат і швидкостей.
Обчислити узагальнені сили за одним із трьох вказаних вище методів.
Підставити в рівняння Лагранжа ІІ-го роду функцію і узагальнені сили і скласти диференціальні рівняння руху системи.
Проінтегрувати рівняння руху і знайти кінематичний закон руху системи.
Якщо необхідно визначити реакції в'язей, то можна застосувати рівняння Ньютона (ІІ-й закон Ньютона), принцип Д'Аламбера або теорему про зміну кінетичної енергії, інші теореми динаміки.
Проаналізувати отриманий розв’язок.
Наведемо застосування цієї методики для отримання диференціальних рівнянь руху математичного маятника і колеса.
16.6. Рівняння Лагранжа іі-го роду для консервативних систем
Якщо всі сили, що діють на механічну систему, є потенціальними, то така система називається консервативною. Встановимо вид рівнянь Лагранжа ІІ-го роду для таких систем.
В цьому разі
узагальнені сили визначаються через
потенціальну енергію
механічної системи, тобто
.
Підставляючи цей вираз в рівняння Лагранжа ІІ-го роду (27), отримуємо
|
(28) |
Оскільки
потенціальна енергія механічної системи
є функцією тільки узагальнених координат,
тобто
,
то частинна похідна від цієї функції
за узагальненими швидкостями
дорівнює нулю. Тому вираз (28)
можна записати у вигляді
|
(29) |
Введемо позначення
.
Функція
називається функцією
Лагранжа
або кінетичним
потенціалом механічної системи.
За допомогою функції Лагранжа рівняння (29) набувають наступної форми запису
.
Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа ІІ-го роду для консервативних систем.
Якщо на механічну систему окрім потенціальних сил діють які-небудь інші (непотенціальні) сили, то рівняння руху такої системи набувають вигляду
,
де
- непотенціальні узагальнені сили.
Задача
Визначити
лінійне прискорення
тягаря маси
,
який піднімається по похилій (кут нахилу
до горизонту
)
гладенькій площині за допомогою шківа,
що обертається навколо своєї осі
прикладеною двигуном парою сил з моментом
(рис. 1). Шків являє собою суцільний
однорідний диск маси
та радіуса
.
Шків і тягар з’єднані ідеальним тросом.
Дано: , ; , , .
Знайти .
Рис. 1
Р о з в ’ я з а н н я
Діємо за наведеною вище методикою.
Визначаємо число степенів вільності системи -
; за узагальнену координату вибираємо переміщення тягаря по похилій площині:
.
Обчислюємо кінетичну енергію систему як функцію узагальненої координати і швидкості. Оскільки тягар рухається поступально, то його кінетична енергія дорівнює
. Шків обертається навколо нерухомої осі, тому його кінетична енергія буде мати такий вираз:
. Отже повна кінетична енергія системи складатиме:
.
Узагальнену силу будемо обчислювати за другим способом. Для цього надамо тягарю можливе переміщення
. Тоді можливе переміщення шківу буде
. Знайдемо можливу роботу всіх активних сил, прикладених до тіл, що входять до системи, на відповідних можливих переміщеннях їх точок прикладання
. Отже узагальнена сила є
.
Підставляємо в рівняння Лагранжа ІІ-го роду знайдену кінетичну енергію та узагальнену силу
і складаємо диференціальне рівняння руху системи:
, звідки визначаємо шукане прискорення:
або
.
Зауважимо
знову, що отриманий вираз є диференціальним
рівнянням руху розглядуваної механічної
системи (математичною моделлю її руху)
за переміщенням
.
1 Зауважимо, що неутримуючу в’язь називають ще односторонньою, а утримуючу – двосторонньою.