3. Логические формулы. Решение логических задач.

Применяя введенные логические операции можно из простых высказываний составить высказывания сколь угодно сложного вида. Например,

A ВС;

(A   )   ;

B   (С  B)  (A  B)   С и т.д.

Такие высказывания называются логическими формулами, а входящие в них простые высказывания – логическими переменными. Символы , , , ,  называют логическими связками.

Принимая А, В, С за обозначение простых высказываний, логическая формула будет представляться как определенное сложное высказывание. Например, если обозначить А – «Будет дождь», В – «Я возьму зонт», С – «Я надену плащ», то AВС – запись сложного высказывания «Если будет дождь, то я возьму зонт или надену плащ».

Для правильного вычисления значения логических формул необходимо задать порядок выполнения логических операций. Сначала выполняется операция отрицания , затем конъюнкция  и дизъюнкция  (они равноправны), затем импликация  и, последней, эквивалентность . Как и в алгебре, скобки необходимы для изменения порядка действий, а равноправные операции вычисляются слева направо.

Таким образом, для вычисления значения выражения

₍A   )  

необходимо сначала определить и , затем выполнить дизъюнкцию  , после этого подсчитать значение выражения, стоящего в скобках: A  , далее выполнить конъюнкцию высказываний  и, наконец, соединить вычисленные значения высказываний A   и  с помощью импликации: (A   )   . Порядок выполнения операций будет таков:

.

Вычислим значение истинности этой логической формулы при всевозможных комбинациях значений логических переменных, составляющих эту формулу. Делать такие вычисления удобнее с помощью таблицы, в каждой строке которой анализируется одна комбинация значений простых высказываний, а в столбцах вычисляются все операции по порядку. Такие таблицы, построенные для сложных высказываний, называются таблицами истинности или таблицами Куайна².

Определение. Таблица истинности составляется с помощью перебора всех возможных комбинаций значений простых высказываний, из которых состоит сложное, и содержит соответствующие значения сложного высказывания.

Пример 8. Построим таблицу истинности для приведенного выше сложного высказывания:

(A   )   .

Так как и А, и В могут принимать два значения, то различных комбинаций значений А и В будет четыре:

А=1, В=1;

А=1, В=0;

А=0, В=1;

А=0, В=0.

Вычислим значение сложного высказывания в каждом случае по действиям.

Пусть простые высказывания А и В истинны: А=1, В=1. Тогда и являются ложными высказываниями: =0, =0. Также ложной будет и дизъюнкция  =0. Значение высказывания в скобках A  =0, так как эквивалентность истиналожь дает ложь. Конъюнкция ложных высказываний  также ложна:  =0. Результирующее высказывание представляет собой соединение ложьложь, что по определению операции импликация есть истина. Значит, (A   )   =1 при А=1 и В=1.

А	В				A 		(A   )  
1	1	0	0	0	0	0	1
1	0	0	1	1	1	0	0
0	1	1	0	1	0	0	1
0	0	1	1	1	0	1	1

Двойной чертой отделяем значения исходных переменных от вычисляемых значений по определениям логических операций.

Если логическая формула состоит из трех переменных А, В и С, то строк в таблице истинности будет 8. Действительно, для каждого значения высказывания С, а их два: истина и ложь, существуют 4 комбинации значений А и В.

Если в сложном высказывании – n простых, то логических возможностей – строк таблицы истинности будет . К примеру, при n=10, число различных комбинаций значений переменных - число строк таблицы .

Пример 9. В деле об убийстве имеются двое подозреваемых - Иванов и Петров. Допросили четырех свидетелей, которые последовательно дали такие показания: "Иванов не виноват", "Петров не виноват", "Из двух первых показаний по меньшей мере одно истинно", "Показания третьего ложны". Четвертый свидетель оказался прав. Кто виновен?

Решение: : Обозначим через I высказывание «Виноват Иванов», P — «Виноват Петров». Именно эти высказывания являются простыми, исходными. Тогда показания подозреваемых описываются следующими формулами алгебры высказываний:

Первый свидетель S₁: I.

Второй свидетель S₂: P.

Третий свидетель S₃: S₁S₂=IP.

Четвертый свидетель S₄:  S₃ = (IP).

Построим таблицу истинности, поместив в ее первые три столбца значения исходных высказываний I, P, S , а в следующие столбцы значения высказываний подозреваемых и вспомогательных формул.

Исходные высказывания		Утверждения
		Первого свидетеля	Второго свидетеля	Третьего свидетеля	Четвертого свидетеля
I	P	I	P	IP	 S3
1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	1	0
0	1	1	0	1	0
0	0	1	1	1	0

Пример 10. Иванов, Петров и Сидоров подозреваются в совершении преступления. В ходе следствия они дали следующие показания:

Иванов: Петров виновен, а Сидоров нет.

Петров: Если Иванов виновен, то виновен и Сидоров. (Они всегда действуют сообща).

Сидоров: Я невиновен, но хотя бы один из них двоих виновен.

Необходимо установить:

а) Совместимы ли показания всех троих подозреваемых, т.е. могут ли они быть одновременно истинны?

б) Предполагая, что показания всех обвиняемых истинны, укажите, кто виновен, а кто нет?

в) Если все трое невиновны, то кто лжесвидетельствует?

Решение: Обозначим через I высказывание «Виноват Иванов», P — «Виноват Петров», S — «Виноват Сидоров». Именно эти высказывания являются простыми, исходными. Тогда показания подозреваемых описываются следующими формулами алгебры высказываний:

Иванов: P  .

Петров: I  S.

Сидоров:  (I  P).

Построим таблицу истинности, поместив в ее первые три столбца значения исходных высказываний I, P, S , а в следующие столбцы значения высказываний подозреваемых и вспомогательных формул.

Исходные высказывания			Вспомогательные формулы		Утверждения				Пункты задачи
					Иванова:	Петрова:	Сидорова:
I	P	S		I  P	P 	I  S	 (I  P)
1	1	1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	0	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1
0	1	1	0	1	0	1	0
0	1	0	1	1	1	1	1	а), б)
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	0	1	0	в)

Теперь ответим на вопросы задачи.

а) Показания Иванова, Петрова и Сидорова одновременно истинны, т.е. имеют значение 1, в шестой строке таблицы. Таким образом, показания всех подозреваемых совместны.

б) Если показания всех обвиняемых истинны ( пункт а) – шестая строка таблицы), то в этом случае P=1, а I=0 и S=0, т.е. виновен Петров, а Иванов и Сидоров – невиновны.

в) И, наконец, если все подозреваемые невиновны P=0, I=0, S=0 (восьмая строка), то лишь Петров говорит правду, а Иванов и Сидоров по какой-то причине лжесвидетельствуют.

Определение. Высказывание В называют логическим следствием высказываний , если во всех случаях, когда все высказывания одновременно истинны высказывание В будет также истинно. При этом высказывания называются посылками логического следствия, а высказывание В - заключением.

Факт того, что В является логическим следствием высказываний записывается так: = В. Эта запись читается: «Пусть , тогда В» или «Из следует В».

Одной из главных задач логики и является проверка того, что заключение действительно представляет собой логическое следствие посылок. Самый прямолинейный способ такого доказательства (он может оказаться достаточно трудоемким) состоит в построении таблицы истинности посылок и заключения. При этом если во всех строчках, в которых все посылки истинны, заключение будет также истинно, то оно действительно является логическим следствием данных утверждений.

Пример 11 . Проверить следующее рассуждение: «Если гражданин законопослушен, он не совершит преступления. Гражданин Иванов - не законопослушен. Значит, он совершит преступление».

Решение: Обозначим высказывание «гражданин законопослушен» через А, а высказывание «он совершит преступление» через В. Необходимо проверить, что из высказываний и следует В, т.е. , . Проверим данное рассуждение с помощью таблицы истинности.

1	1	0	0	0	1
1	0	1	1	0	0
0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	1	0

Рассмотрим строки, в которых высказывания и одновременно истинны. Таких строк две: третья и четвертая. В третьей строке высказывание В также истинно, а вот в четвертой – ложно. Таким образом, не во всех случаях, когда высказывания и одновременно истинны высказывание В будет также истинно. Высказывание В называют не является логическим следствием высказываний , . Вывод: рассмотренное рассуждение неверно.

Отвлекаясь от математической логики, можно заметить, что Иванов будет незаконопослушным, если переходит улицу на красный свет светофора. А это отнюдь не является преступлением.