3. Количество элементов в множестве. Формула включений и исключений.

Пусть существует два конечных множества А и В, количество элементов которых N(A) и N(В). Тогда

N(АВ)= N(A)+N(В) –N(АВ).

Эта формула называется формулой включений и исключений и позволяет решать многие задачи теории множеств.

Действительно, количество элементов, составляющих общую для множеств А и В часть - АВ, входит в сумму N(A)+N(В) дважды и его необходимо вычесть для получения числа элементов обоих множеств N(АВ).

Из этой формулы следует, что если множества А и В не пересекаются, то

N(АВ)= N(A)+N(В).

Пример 9. Из 15 спортсменов, занимающихся боксом или борьбой, 10 – боксеры. Сколько спортсменов занимается обоими видами спорта, если борьбой занимается 8 из них?

Решение: множество спортсменов, занимающихся боксом обозначим A, тогда N(A)=10. Множество спортсменов, занимающихся борьбой обозначим В и N(В)=8. Тогда множество спортсменов, занимающихся боксом или борьбой AВ и N(AВ)=15. Количество спортсменов, занимающихся и боксом и борьбой: АВ. Тогда N(AВ)=N(A)+N(B)-N(АВ).

N(АВ)=N(A)+N(B)-N(AВ)=10+8-15=3.

Пример 10. В двух группах учатся 50 курсантов. Для прибытия в институт 12 из них пользуются автобусом, 18 добираются пешком, 7 и идут, и едут в автобусе. Используя теорию множеств, найдите:

Сколько человек или добираются пешком или пользуются автобусом?

Сколько человек пользуются только автобусом?

Сколько человек пользуются другим транспортом?

Решение: множество курсантов, пользующихся автобусом обозначим A, тогда N(A)=12. Множество курсантов, добирающихся пешком обозначим В, тогда N(В)=18.

1. Множество курсантов, которые или добираются пешком или пользуются автобусом AВ. Множество курсантов, которые и идут, и едут в автобусе будет AB и N(AB)=7.

Тогда N(AВ)=N(A)+N(B)-N(АВ).

N(AВ)=12+18-7=23 человека или добираются пешком или пользуются автобусом.

2. Множество курсантов, которые пользуются только автобусом будет А\В и N(A\B)=N(A)-N(AB)=12-7=5.

3. Обозначим за I множество рассматриваемых курсантов. Тогда, по условию задачи, N(I)=50. Обозначим за С множество курсантов, которые пользуются другим транспортом. Поскольку 23 человека или добираются пешком или пользуются автобусом, то N(C)=50-23=27 человек пользуются другим транспортом.

Пример 11. В группе 30 курсантов. 20 из них сдали зачет по стрельбе из пистолета, еще 20 сдали зачет по физподготовке, причем 15 сдали оба зачета. Сколько человек не сдали ни одного зачета?

Решение: Обозначим за I множество рассматриваемых курсантов. Тогда, по условию задачи, N(I)=30. Обозначим за А множество курсантов, которые сдали зачет по стрельбе из пистолета, тогда N(A)=20. Обозначим за В множество курсантов, которые сдали зачет по физподготовке, тогда N(В)=20. Количество курсантов, которые сдали хотя бы один зачет: N(AB)=N(A)+N(B)-N(AB) = 20+20-15 = 25. Тогда количество курсантов, которые не сдали оба зачета будет равно N(I)\N(AB) =30-25=5.

Контрольные вопросы:

1. Понятие множества и подмножества.

2. Операции с множествами: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность.

3. Количество элементов в множестве. Формула включений и исключений.

4. Найти объединение, пересечение, разность и симметрическую разность множеств А и В, если

а) А={1, 2, 3, 4, 5}, В={2, 4, 6, 8, 10};

б) А={а, б, в, г, д, е}, В={а, в, д, к, и};

в) А={а, в, д, ж, и, м, н, о}, В={в, к, и, о, м, п, с, ф};

г) А={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, В={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

5. Даны следующие числовые множества: А={1,3,5,7,9,11}, B={2,5,6,11,12}, C={1,2,3,5,9,12}. Найти множества, которые будут получены в результате выполнения следующих операций:

а) (АС) В; б) (АС)\В; в) С\BА;

г) АBC; д) В\(АС); е) (BC)\A.