28. Игры с природой(статистич)Байеса, Лапласа

Под стат. игрой или игрой с природой мы будем понимать парную матричную игру, в кот. 1 игрок заинтересован в наиболее выгодном для себя исходе игры, а второй игрок-природа (П), совершенно безразличен к результату игры. Предположим, что в игре с природой сознательный игрок А м. Использовать m чистых стратегий: A₁,A₂,…..A_m, а 2 игрок П м. реализовать n различных состояний: П₁,П₂…П_n. Игроку А м.б. известны вероятности q₁,q₂….q_n, с кот. природа реализует свои состояния, но он может и не знать их. Действуя против природы, игрок А м. реализовать как свои чистые стратегии A_i, так и смешанные. Если игрок А в состоянии оценить некоторой величиной а_ij последствия применения каждой своей чистой стратегии A_i при любом состоянии природы П_j, то игру м. задать платежной матрицей.

А_m*n=

Игры с природой явл-ся частным случаем матр. игр.

При упрощении платежной матрицы отбрасывать те или иные состояния природы нельзя, т.к. она м. реализовать любое состояние независимо от того выгодно оно или нет. Решение достаточно найти только для игрока А поскольку природа наши рекомендации воспринять не может. Смешанные стратегии приобретают смысл только при многократном повторении игры.

Решение статистич. игры: 1) упростить платежную матрицу. Отбрасывать стратегии природы нельзя (столбики на месте) 2) оценить выигрыш при различных игровых ситуациях(критерий Байеса, Вальда, Гурвица, Сэвиджа. 3) построить и исследовать матрицу риска 4)сделать вывод о выборе наилучшей стратегии.

Матрица рисков Сэвиджа

Построение матрицы рисков. Риском r_ij игрока А, когда он пользуется своей чистой стратегией А_i при состоянии природы П_j наз. разность м/у min-ым выигрышем, кот. он м. бы получить, если бы точно знал, что природой б. реализовано именно состояние П_j и тем выигрышем, кот он реально получит, используя стратегию A_i, не зная какое же состояние реализует природа.

r_ij=_j-a_ij>=0, _j=maxa_ij, i=1,m

i Где В_j=max a_ij – максимальный элемент j-го столбца платежной матрицы. Элементы матрицы рисков, соответствующие стратегиям А_i и П_j характеризуют общую благоприятность или не благоприятность для игрока А отдельных состояний природы.

критерий Байеса:Критерий, основанный на известных вероятностях условий. Пусть известны вероятности q_j состояний природы П , j=1;n.Тогда пользуемся критерием Байеса, в соответствии с кот. Оптимальная считается чистая стратегия A , при которой максимизируется средний выигрыш =

Принцип недостаточного основания Лапласа:

Если объективные оценки состояния природы получить невозможно, но вероятности природы могут быть оценены субъективно на основе принципа недостаточного основания Лапласа, согласно которому все состояния природы полагаются равновероятностными, т.е.q₁=q₂=…….=q_n= и оптимальной считают стратегию А_i, обеспечивающую максимальное среднее значение выигрыша =

29.Вальда,Гурвица,Сэвиджа

1.Махмin-ный критерий Вальда.

Согласно этому критерию рекомендуется применять маxмin-ную стратегию, она находится из условия

α=

Критерий пессимистический, полагается что природа будет действовать наихудшим для игрока образом

2.Критерий максимума - оптимистический критерий. Считается, что природа наиболее благоприятна для игрока А и оптимальная стратегия находится из условия

m=

3.Критерий Гурвица – рекомендует выбирать стратегии, определ. по формуле:

S= ) }i=1;m j=1;n a_ij-элемент платежной матрицы, [0;1]-степень оптимизма

Критерий поддерживается некоторой промежуточной позицией, кот. учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При =1 этот критерий превращается в критерий Вальда. При =0 получается критерий максимума, выбираем из опыта или субъективных соображений.

4.Критерий Сэвиджа. Суть состоит в выборе такой стратегии, кот. не позволяет допустить чрезмерно высокие потери. Этот критерий также как и критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, но пессимизм здесь понимается иначе. Тут рекомендуется всячески избегать большого риска. Согласно этому критерию выбирается стратегия, при которой в наихудших условиях величина риска принимает наименьшее значение, т. е.

r= r -элемент матрицы рисков.