10Таблица производных.
Таблица производных простейших элементарных функций
1.
,
где
— постоянная;
2.
,
;
3.
,
;
4.
;
5.
,
,
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
.
11 Производная обратной и сложной функции. Теорема о производной обратной функции
Теорема.
Пусть функция
непрерывна и строго монотонна в некоторой
окрестности точки
и пусть в этой точке существует конечная
производная
.
Тогда обратная функция
имеет производную в точке
,
равную
.
Доказательство.
Поскольку функция
непрерывна и строго монотонна в некоторой
окрестности точки
,
то в окрестности точки
определена непрерывная и строго
монотонная обратная функция
.
Придадим аргументу
этой обратной функции в точке
приращение
.
Приращение обратной функции
в точке
,
соответствующее приращению аргумента
,
в силу строгой монотонности обратной
функции также будет отлично от нуля.
Причем в силу непрерывности обратной
функции
при
.
Тогда
Производная сложной функции
Теорема.
Пусть функция
дифференцируема в некоторой точке
,
а функция
дифференцируема в точке
.
Тогда сложная функция
дифференцируема в указанной точке
и справедлива следующая формула
.
Используя, таблицу производных, правила дифференцирования и формулу дифференцирования сложной функции можно вычислить производную любой элементарной функции.
Получим, например, формулы для производных функций , :
,
.
Пример.
Найти производную функции
.
Применим
формулу дифференцирования сложной
функции. В данном случае
,
.
Тогда
.
Теперь, используя понятие дифференцируемости, мы можем доказать теорему о производной сложной функции, сформулированную в предыдущей лекции.
Теорема. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , а функция дифференцируема в точке . Тогда сложная функция дифференцируема в указанной точке и справедлива следующая формула
.
Доказательство. Функция дифференцируема в точке , следовательно,
,
где
— бесконечно малая при
.
Поскольку дифференцируемая в точке
функция
непрерывна в этой точке, то
при
.
Так как функция
дифференцируема в точке
,
то ее приращение также можно представить
в виде
,
где
— бесконечно малая при
.
Подставляя в последнее равенство
выражение для
,
получим
,
.
Поскольку
— величины бесконечно малые при
,
то
.
Теорема доказана.
12. Логарифмическая производная.
Логарифмическая производная
Пусть
функция
положительна и дифференцируема в данной
точке
.
Тогда в этой точке существует
.
Рассматривая
как сложную функцию аргумента
,
можно вычислить производную этой
функции, принимая
за промежуточный аргумент. Получим
.
Эта производная называется логарифмической производной функции в данной точке .
Производная степенной функции с произвольным вещественным показателем
Рассмотрим
степенную функцию
,
где
— произвольное вещественное число.
Эта функция определена при
для любого вещественного показателя
.
Найдем логарифмическую производную
данной функции
.
Отсюда получим
.
.
Производная степенно-показательной функции
Степенно-показательной
функцией называется функция
,
где
и
— непрерывные функции, и
.
Найдем вначале логарифмическую
производную этой функции
,
.
Отсюда получим
,
.