Задание n 13 Тема: Законы сохранения в механике

Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки с одной и той же высоты. Если трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то отношение скоростей  , которые будут иметь эти тела у основания горки, равно …

			1

Решение: В рассматриваемой системе «тело – Земля» действуют только консервативные силы, поэтому в ней выполняется закон сохранения механической энергии, согласно которому  , или  , где J – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс,  – угловая скорость вращения вокруг этой оси, h – высота, с которой скатывается тело. Отсюда с учетом того, что  , получаем:  . Отсюда  . Моменты инерции сплошного и полого цилиндров равны соответственно:  и  . Тогда искомое отношение скоростей  .

Задание n 14 Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения

Диск вращается вокруг своей оси, изменяя проекцию угловой скорости  так, как показано на рисунке. Вектор угловой скорости  и вектор углового ускорения  направлены в одну сторону в интервалы времени …

			от 0 до  и от  до
			от 0 до  и от  до
			от  до  и от  до
			от 0 до  и от  до

Решение: По определению угловое ускорение тела  , где  – его угловая скорость. При вращении вокруг неподвижной оси векторы  и  коллинеарны, причем направлены в одну и ту же сторону, если вращение ускоренное, и в противоположные стороны, если вращение замедленное. Направление вектора  связано с направлением вращения тела правилом правого винта. В интервале времени от 0 до  вектор угловой скорости направлен вдоль оси OZ и, поскольку скорость увеличивается, вектор углового ускорения направлен так же. В интервале времени от  до  вектор угловой скорости направлен против оси OZ, но скорость при этом также увеличивается, следовательно, вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скорости.

Задание n 15 Тема: Работа. Энергия

Для того чтобы раскрутить стержень массы  и длины  (см. рисунок) вокруг вертикальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину, до угловой скорости  , необходимо совершить работу  . Для того чтобы раскрутить до той же угловой скорости стержень массы  и длины  , необходимо совершить работу в _____ раз(-а) бόльшую, чем  .

8

Решение: Совершенная работа равна кинетической энергии вращательного движения стержня  , где момент инерции стержня  пропорционален массе и квадрату длины,  (момент инерции стержня массы  и длины  относительно оси, проходящей перпендикулярно ему через середину стержня, равен  ). Следовательно, работа по раскручиванию до такой же угловой скорости  стержня вдвое бόльшей массы и в два раза длиннее будет в 8 раз больше:  .