Шпоры к экзамену / Шпоры / мал7-12

7. Линейные отображения

w=a*z+b , a≠0, a,b Э C (1)

w’=( a*z+b) ’=a ≠ 0.

a = α₁ + i*α₂

b = β₁ + i*β₂.

U + i*V = (α₁ + i*α₂)(x + i*y) + β₁ + i* β₂

{ U = α₁x + β₁ – α_2*y ; V = α_2*x + β₂ – α_1*y.

J = | (U_x)’, (U_y)’; (V_x)’, (V_y)’ | = | α₁, - α₂; α₂ , α₁| = α₁² + α₂² = | α₁ + i*α₂ |² = |a|² ≠ 0

Следн-но это отображ. конформное .

Рассм. обр. отображ. z = (w-b)/a = (1/a) w – b/a ; a ≠0.

Данное отображ.(прямое и обратное) конформно на С (рассматриваемая комплексная плоскость).

Понятии конформ. в т. z = ∞

Опр. Однолистное в окр. т. z = ∞ отображ. w =f(z) конформно в т. z = ∞, если при замене z = 1/ξ отображ. w=f(1/ξ) = φ(ξ) конформно в т. ξ=0

Проверим конформность лин. отображ. в т. z = ∞.

z = 1/ξ , ω=1/η, тогда в окр. z = ∞ и ее образ w = ∞ → ξ=0; η=0.

η= ξ/(a+b*ξ) , η’=a/(a+b*ξ)² , (η’ | _ξ=0) = 1/a ≠0

Отобр. (1) w=a*z+b можно предств.

a = |a|e^iӨ (2) ;z=re^iγ ; az = |a|e^iӨ re^iγ

w₁-это отображение подобия с центром в точке z=0.

w₂= exp(i *arg(a)) w₁ (3) - это вращ. вокруг точки w=0 на угол arg(a)

w = b+ w₂ – парал. Перенос РИС

8. Дробно-линейные отображения и его свойства

w=(a*z+b)/(c*z+d) , a/c≠b/d (8) a, b, c, d Э C, c≠0.

w=A+B(1/z+ z₀) (9) , A, B, z₀ Э C

Дробн.- лин. отобр. свод. к след. 3-м суперпозиц.:

1. w₁=z+ z₀ – парал. сдвиг (10)

2. w₂=1/w₁ – инверсия отн. окр. радиуса 1 (11)

3. w=A+Bw₂ – лин. отображ. (12)

Исходя из 3-х послед. формул – Д.Л.О. окр. перев. в окружн.

Св-ва Д.Л.О :

1. Из ф-л (10)-(12) непосредств. следует:

а) отобр. (8) осущ. взаимноодн. отобр. плоскости С*_z на C*_w

б) суперпоз. 2-х Д.Л.О, а также обратное отображ. явл-ся снова Д.Л.О

Для док-ва суперпоз.-ии нужно подст. z=(a₁z₁+b₁)/(c₁z1+d₁) и мы снова получ. Д.Л.О

2. Двойное отношение 4 точек

Опр. Двойным отнош.(ангармоничным) отношением 4х точек z1,z2…z4 наз. выраж.

(z₁ z₂ z₃ z₄)=[( z₁- z₃)/( z₂- z₃)]/[( z₁- z₄)/( z₂- z₄)]

3. При Д.Л.О двойное отношение 4-х попарно различн. точек не изменяется

т.е. если z_i→ w_i с помощью Д.Л.О, то:

[(w₁- w₃)/( w₂- w₃)]/[( w₁- w₄)/( w₂- w₄)] = [(z₁- z₃)/( z₂- z₃)]/[( z₁- z₄)/( z₂- z₄)] (13)

Док-во: схема:

9. Интеграл ФКП по ориенторованной кривой и его св-ва

Пусть γ – ориент. кусочно-гладк. кривая на пл-ти С с началом в т. a и c концом в т. b.

Пусть L – длина γ. Пусть f(z)=U(x,y)+i*V(x,y) – огр. ф-ия, задан. в точках ZÎγ.

Опр. Интегралом от ф-ии f(z) по ориентир. кривой γ наз. число, обознач. символом:

òf(z)dz = ò [U(x,y)+iV(x,y)](dx+idy) = ò U(x,y)dx – V(x,y)dy + iò V(x,y)dx + U(x,y)dy (1)

Из этого опр-ия следует, что для сущ. инт-ла òf(z)dz необх. и дост. сущ. 2-х криволин. инт-ов второго рода от ф-ии действ. переменного.

Некоторые св-ва:

1) _γ+òf(z)dz= - [_γ- òf(z)dz] ( интегралы берутся по γ, далее везде)

2) òdz = b-a ; f(z)=1

òdz = òdx+iòdy = _a1ò^b1dx + i_a2ò^b2dy = (b1-a1) + i(b2-a2)= (b1+ib2)-(a1+ia2)=b-a.

3)Линейность интеграла

ò[af(z)+bg(z)]dz= a*òf(z)dz+b*òg(z)dz

4)Аддитивность

_γòf(z)dz = _γ1òf(z)dz+ _γ2òf(z)dz , γ= γ1 U γ2

5)| òf(z)dz| ≤ ò |f(z)| |dz| = { |dz|=(dx²+dy²)^1/2 = dl } =ò |f(z)|dl ≤ L max | f(z)| zÎ γ , L – длина

10. Теорема Коши для простого контура.

Th. Если ф-я f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл от f(z) по " замкнутой, кусочно-гладкой кривой Жордана gÎD равен нулю: _g(ò)f(z)dz=0 (1)

Док-во:

Мы докажем эту Th. Для случая, когда ф-я f(z)=U(x,y) + iV(x,y) имеет непрерывную производную в области D, т.е. U(x,y), V(x,y)ÎC₁(D). По формуле Грина: _gòP(x,y)dx + Q(x,y)dy = _Dòò(¶Q/¶x - ¶P/¶y)dxdy (2)

D –область огранич.кривой g; P,QÎC₁(D)

_gòf(z)dz = _gò(U + iV)(dx + idy) = _gòUdx – Vdy + i_gòUdy + Vdx, получим:

_gò f(z)dz = -_Dòò(¶V/¶x + ¶U/¶y)dxdy + i _Dòò(¶U/¶x - ¶V/¶y)dxdy = 0 (C-R)

Следствие: Пусть при условиях Th. g₁ и g₂ имеют общие начальные и конечные точки, так что - замкнутая кривая g₁Èg₂ ÎD. Тогда

_g1òf(z)dz =_g2 òf(z)dz Это означает, что интегрирование не зависит от пути интегрирования. _g1Èg2òf(z)dz = _g1ò + _g2^- ò = 0; _g1 ò f(z)dz - _g2 ò f(z)dzÞ _g1ò = _g2ò

Th. Коши(обобщённая), когда ф-я не явл. аналитической на границе(на контуре интегрирования).

1. f(z) аналитична в односвязной области D, границей которой является кусочно-гладкая кривая Жордана.

2. f(z) непрерывна в Ď=DÈg

То: _gòf(z)dz=0 Без док-ва.

11. Интегральная формула Коши.

Th. Пусть граница ¶D (n+1)-связной области D состоит из спрямляемых взаимно непересекающ. кус.-гл. кривых Жордана, причём С₁…C_n расположены внутри С₀. Тогда если f(z) – аналитическая ф-я в обл. D и непр. в обл. Ď=DȶD, то справедлива формула:

[1/2pI] * _¶Dò[f(x) / (x-z)]dx = {f(z), zÎD; 0, zÏĎ} (1)

где интегрирование производится в положительном направлении, т.е. область при обходе остается слева, т.е. ¶D= С₀ÈČ₁È Č ₂È…ÈČ _n

Док-во:

Если zÏĎ=DȶD, то ф-я f(x) / (x-z) аналитична в обл. D и непр. в обл. Ď. Поэтому по основной Th. Коши: [1/2pi] * _¶Dò[f(x) / (x-z)]dx = 0.

Пусть zÎD. Зафиксируем в обл. D т.z и круг U(z,r) – имеет границу g. Зафиксируем круг т.о., чтобы он Î обл.D и не принадлежал границе. Очевидно, что ф-я f(x) / (x-z) аналитична в обл. D*=D/Ū(z,r) и непр. в обл. Ď*=D*ȶD*, ¶D*=¶DÈg ^- (см. рис. в лекции). Тогда по обобщенной Th.Коши: _¶D*ò[f(x) / (x-z)]dx = _¶Dò[f(x) / (x-z)]dx + _g^-ò[f(x) / (x-z)]dx = 0

Отсюда, т.к. выполняется _g -ò = - _gò , получим:

_¶Dò[f(x) / (x-z)]dx = _gò[f(x) / (x-z)]dx . Ранее вычислили: _gò[ dx/ (x-z)] = 2pi (3)

Отсюда f(z) можно предствить в след. виде:

f(z) = [1/2pi]*f(z)*2pi = [1/2pi]* f(z)* _gò[ dx/ (x-z)] = [1/2pi]* _gò[f(z)/(x-z)]dx (4)

12. Интеграл типа Коши. Сущеествование производных всех порядков у аналитической функции.

Опр. Пусть Г- кус.-гл. кривая Жордана, а f непр. ф-я, заданная на Г. Пусть zÎС, zÏГ. Тогда ф-я F(z)= [1/2pI] * _Гò[f(x) / (x-z)]dx (1) наз. интегралом типа Коши.

Если Г-замкнута, а f(x) – аналитична в огр. обл. D с границей Г и непр.. в замкн. обл. Ď=DÈГ,то этот интегр. (1) переходит в интеграл Коши и имеет место рав-во: F(z)={f(z), zÎD; 0, zÏ Ď=DȶD} (2) В общем случае (2) не обязат. имеет место #

Th. Ф-я, определяемая интегр. типа Коши F(z)= [1/2pI] * _Гò[f(x) / (x-z)]dx иммет в кажд. т zÏГ произв. Всех порядков, кот. вычисл. по ф-ле:

F⁽ⁿ⁾(z)= n!/ [2pi] * _Гò[f(x) / (x-z)ⁿ⁺¹]dx (3)

Док-во:

Выведем формулу (3) для n=1. Зафиксируем произв. т.zÏГ. Пусть d - расст-е от z до кривой Г. Рассм. круг с центром в т.z и радиуса d/2. Тогда " т. z+Dz Î U(z,d) будет выполн-ся нер-во ½x-z½>d/2 и ½x-z-Dz ½>d/2.

Рассмотрим отношение:

[F(z+Dz) – F(z)]/ Dz = [1/2pI] * (_Гò[f(x) / (x-z-Dz)] - _Гò[f(x) / (x-z)])*[1/ Dz] dx =

= [1/2pi] * _Гò[f(x) / ((x-z)* (x-z-Dz))]dx (4)

т.к. "xÎГ: ½x-z½>d/2,½x-z-Dz ½>d/2. Из соотношения (4) можем

8. Пусть точки z₁z₂z₃z₄ Э C*z ф-ией w=(a*z+b)/(c*z+d) отображ.-ся в точки w_k=(a*z_k+b)/(c*z_k+d), где k=1…4

Подст. в ф-лу (13) выраж. для разностей w_i- wj = (a*z_i+b)/(c*zi+d) - (a*z_j+b)/(c*zj+d) =

= [(a*d-b*c)(z_i-z_j)]/[(c*z_i+d)*(c*z_j+d)]; i=1,2 j=3,4.

После алгебр. преобраз. мы получим: прав. часть ф-лы (13)

Следствия:Сущ. единст. Д.Л.Функция, отобр. одну расширенную комплекс. плоск. на другую так, чтобы произвольн. заданные три различ. точки 1-ой плоск. перешли соотв. в произ. задан. 3-и различн. точки 2-ой плоск.

Док-во:

Фикс. три точки z₁ , z₂ , z₃ Э С*_z и w₁… w₃ Э С* _ω

Пусть w=g(z) – искомая Д.Л.Ф-ия, которая точки z₁… z₃, а также произв. точки zÎC*_z переводит соотв. в т. w₁… w₃ и w Î С*_w. Тогда по св-ву (3) имеем:

[(w₁- w₃)/(w₂- w₃)]/[(w₁- w)/(w₂-w)] = [(z₁- z₃)/( z₂- z₃)]/[( z₁-z)/( z₂-z)] (14)

(w- w₁)/(w-w₂) = ( [(w₁- w₃)/(w₂- w₃)]/ [(z₁- z₃)/( z₂- z₃)] ) (z₁-z)/( z₂-z) (15)

Выразим отсюда w, найдем, что эта ф-ла однознач. опр. иск. ф-ию w=g(z) , где g- Д.Л.Ф-ия. След-но (14) – отобр. точки z₁… z₃ в т. w₁…w₃.

4. Круговое св-во.

Д.Л.О отобр. перев. окружн. в окружн. Под окружностью также понимается и прямая, как окр.бесконеч. радиуса.

7.

10.

9. 6)Пусть граница ∂D (n+1) – связной области D есть спрямл. кривые Жордана C0, C1…Cn, причем С1, С2…Сn лежат на внутри С0. Тогда если на границе ∂D=С0 U C1 U C2 U…Cn

задана непрерывн. ф-ия f(z), то :

_∂Dòf(z)dz = _C0òf(z)dz – _k=1∑ⁿ [_Ckòf(z)dz] (∂D, C0, Ck – обл-ти интегрир.)

7)Пусть кусочно-гладкая кривая γ задана ур-ем z=z(t)=x(t)+iy(t), где t Î [α , β]

Пусть f(z)=U(x,y)+iV(x,y) – непр. на γ. Потребуем, чтобы z’(t) ≠ 0. Тогда:

òf(z)dz= _αò^β [f(z(t)) z’(t)] dt

Док-во следует из связи интегр. ФКП и криволин. интегр. второго рода . РИС

написать:

½[F(z+Dz) – F(z)]/ Dz - [1/2pi] * _Гò[f(x) / (x-z)²]dx ½ =

= [1/2pi]*½ _Гò[(f(x)*Dz) / ((x-z)²* (x-z-Dz))]dx ½<

< [1/2p]* _Гò[(½f(x)½*½Dz½*½dx½) / (½x-z½²* ½x-z-Dz½)]½dx½ <(M*½Dz½*L)/(2p*(d/2)³) (5)

$M: ½f(x)½< M; _Гò½dx½=L – длина кривой; M=max_xÎГ½f(x)½;

(5)®0 при ½Dz½® 0, след-но $ предел:

lim([F(z+Dz) – F(z)]/ Dz) = [1/2pi] * _Гò[f(x) / (x-z)²]dx = F’(z)

Доказана для 1й производной, далее, пользуясь методом мат. индукции и ф-лой (6) устанавливается верность ф-лы (3) для m=2,3,… #

Следствие. $е производной "порядка у аналит. ф-ции:

Th. Если ф-я аналитич. в обл. D, то она имеет производн. " порядка в этой обл.

Док-во: Пусть z – произв. т. обл D, а U(z,r) – окр-сть(круг) с границей g и радиуса r с центром в z. Круг Î обл. D. Тогда по интегр. формуле Коши:

f(z)= [1/2pi] * _gò[f(x) / (x-z)]dx, где zÎU(z,r). Этот интеграл есть инт-л типа Коши Þ имеет производн. " пор-ка в т.z . Т.к. z-произв. т. обл. D, то имеет производную в D в " точке. Отсюда также следует, что "n f⁽ⁿ⁾(z) аналитична в D. РИС

11. На основании (2) и (4) имеем следующее:

f(z) - [1/2pi] * _¶Dò[f(x) / (x-z)]dx = [1/2pi] * _¶Dò[ (f(z) - f(x)) / (x-z)]dx (5)

Т.к. f(x) непр. в т.z, то" ε>0 $d(e): при r<d ½f(z) - f(x)½< e

Тогда из формулы (5) имеем:

½f(z) - [1/2pi] * _¶Dò[f(x) / (x-z)]dx ½< [1/2pi]*½_gò[ (|f(z) - f(x)|) / (|x-z|)] |dx|½= [1/2pi]* e*2pi = e

Это означает, что выполняется 1-ое рав-во в ф-ле(1). 2-ое рав-во вып-ся автоматически, т.к. нет особых точек. РИС