43. Дискретное преобразование Лапласа, связь с импульсной ф-ией.

Дискретное преобразование Лапласа. В прилож вместо f(t) может быть задана последовательность значений {f_n}, n=0,1,2…через опред промежуток времени t=0,1,2…Преобр-е Лапласа примен для ф-ции можно применить и к последовательности, если их заменить ступенчатой ф-ей f_n(t), n≤t≤n+1, n=0,1,2…}(1). Ф-я f₀(t) явл кусочно-пост и ее образ, согласно преобо Лапласа, имеет след вид: F₀(p)=_n=0∑^∞_n∫ⁿ⁺¹e^-ptf_ndt= _n=0∑^∞f_n(e^-np-e^-n(n+1)p)/p= (1-e^-p)/p( _n=0∑^∞f_ne^-np) (2). Запись (2) можно упростить, если отбросить множитель 1-e^-p/p, тогда в правой части (2) ост только _n=0∑^∞f_ne^-np – как результат непосредственных преобр посл-ти {f_n}. Это преобразование обозн символом Д, и называется дискретным преобр Лапласа Д[f_n]≡ _n=0∑^∞f_ne^-np. Замечание: Д-преодр можно рассматривать как преобр Лапласа но не ф-ции, а распределения. Последоват f_n=f(n) выдел из f(t) может быть рассм как результат импульсов δ(t-n) извлеч из f(t) в t=n знач ф-ции f(n). Совокупность этих импульсов моделируется посредством ф-ии f(t). В рез-те получаем f(t)= _n=0∑^∞f(t-n)= _n=0∑^∞f(n)δ(t-n)= f*(t). Ф-ю f*(t) будем называть распределением. Применив к f*(t) преобразование Лапласа, получим:L[_n=0∑^∞f(n)δ(t-n)]= _n=0∑^∞f(n)L[δ(t-n)]= _n=0∑^∞f_ne^-np=Д[f(n)] (4). Д[f(n)] – дискретное преобразование Лапласа(применено к распред{f_n}). (4) следует из Теор запаздывания для δ – функции {(4)=δ(t-τ)-e^-pτ(τ-h)}. Д[f(n)]=L[f*(t)] (5). Таким образом дискретное преобраз-е есть преобраз-е Лапласа некоторого распределения.

44. Z – преобразование, примеры.

Z – преобразование. Введем новую переменную z=e^p. Тогда ряд _n=0∑^∞f_ne^-np переходит в ряд по степеням 1/z и преобразование принимает след вид: F*(z)= _n=0∑^∞f_nz^-n=Z[f_n] (1) это преобр.наз z-преобразов.. F*(z)=Z[f_n]. f_n÷F*(z).

Замечание1: преобразования L,Z,Д связаны м/у собой след соотношением: L[f*]=Д[f_n]=Z[f_n]|_z=e^p=F*(e^p) (2).

Замечание2: Ряд (1) сходится вне некоторого круга комплексной пл-ти |z|>R≥0. Поэтому все особенности изображения F* находятся внутри круга |z|≤R.

Пример1. Найти z – преобр f_n=e^αn. F*(z)= _n=0∑^∞e^αnz^-n= _n=0∑^∞(e^αz^-1)ⁿ=1/(1-e^αz^-1)=z/(z-e^α). |z|>e^{Re α}. Положим α=0. f_n≡1, F*(z)= z/z-1÷f_n=1.

Пример2. Если cos, то cosα=(e^iα+e^-iα)/2.

Пример3. f_n=1/n. n≥0, f₀=0. F*(z)= _n=0∑^∞z^-n/n= _n=0∑^∞1/nzⁿ=ln(1/z-1).

45. Обращение Z – преобразования.

Обращение z-преобразований. 1). Согласно ф-ле для коэф ряда Лорана f_n=1/(2πi)_|z|=r∫F*(z)dz/z^1-n (1), n=0,1,2…r<R. Внутри окр |z|=r должны быть все особенности ф-ци F*(z). 2). z=re^iφ. f_n=rⁿ/2π_-π ∫^πF*( re^iφ) e^inφdφ(2). , где f_n/rⁿ – коэфф Фурье для F*( re^iφ). 3). Т.к. ряд F*(z^-1) – есть ряд по возрастающим степеням z, то по ф-ле Тейлора f_n=1/n!(dⁿF*(z^-1)/dzⁿ)|_z=0, n=0,1,2…(3). 4). Th(о предельном значении). Если изображение F*(z)=Z[f_n] – сущ, то f₀=_z→∞limF*(z). без док-ва. Следствие: Очевидно, что ряды: z(F*(z)-f_n) =f₁+f₂z^-1+f₃z^-2+… z²(F*(z)-f_n-f₁z^-1)=f₂+f₃z^-1+… итд представляют собой z-преобразования, поэтому, определив по Th значение f₀: f₁=_z→∞limz(F*(z)-f₀) (4), f₂=_z→∞limz²(F*(z)-f₀-f₁x^-1) (5) итд

46. Целые ф-ии и их св-ва.

Целые ф-ии:

Однозначная ф-ия f(z) наз. целой если она аналитична во всей комплексной пл-ти С. {Напр.: e^z; Cosz; Sinz;…}

Опр. Ф-ия наз целой-рациональной, если полюсом для нее явл. т-ка z = , если же т-ка z =  - существенно особая т-ка, то ф-ия наз. трансцендентной.

Th 1. Если т-ка z =  - явл. устранимой особой т-кой целой ф-ии f(z), то f(z) = const.

Док-во:

По условию Th. Lim(f(z)) = A   при z, тогда для >0  R() >0 z: |z|>R |f(z)-A|<  ||f(z)|-|A||  |f(z)-A| <   |f(z)| < |A| +  = M₁, |z| >R. Т.к f(z) аналитична в круге |z|R, то  M₂, что |f(z)| < M₂< |z|R. Пусть теперь M = max{M₁,M₂}, тогда для  z  С: |f(z)|M. Отсюда по Th (Лиувиля)  f(z) = const. 

47. Мероморфные ф-ии, рациональные ф-ии. Представимость рациональной ф-ии в виде суммы многочлена и простейших дробей.

Опр. Однозначная ф-ия f(z) наз мероморфной на компл пл-ти С, если в  огр части пл-ти С онане имеет никаких других особых точек, кроме полюсов.

Примеры: Pn(z)/Qm(z) – дробно-рац. ф-ии; tg(z); ctg(z);…

Замечание: В  огр части компл пл-ти мероморфная ф-ия имеет конечное число полюсов, в противном случае в этой части пл-ти  предельная т-ка мн-ва полюсов, и тогда эта т-ка явл не изолированной т-кой для полюсов.

Th 3. Если т-ка z= - полюс мероморфной ф-ии f(z), то f(z) - рациональная ф-ия.

Док-во:

Т.к. z= - изолированная особая т-ка, то  кольцо R<|z|< в котором f(z) - аналитическая, в круге |z|R по условию имеет лишь конечное число полюсов, по этом в пл-ти С имеет конечное число полюсов z₀=, z₁,…,z_n. Рассмотрим полюс z_k (k=1…n) и разложим ф-ию f(z) в

48. Св-во единственности для регулярной ф-ии.

Th 1. Если f(z) /0 регулярная (аналитическая) в нек области, то она в этой области может иметь только изолированные нули. #

Th 2 (Th единственности). Если 2 ругулярные в области D ф-ии f₁(z) и f₂(z) совпадают на некоторой бесконечной последовательности попарно различных т-к z₁…z_n, сходящейся к z_n D, то в области D: f₁(z) = f₂(z).

Док-во:

Рассмотрим регул ф-ию (z) = f₁(z) - f₂(z), все т-ки z₁…z_n - есть нули этой ф-ии т.к. (z_k) = 0, k = 1…n… т.к. limz_k=z₀ при k, то в следствии непрер. (z₀) = limf(z_k)=0 при k. Здесь z₀ – также нуль ф-ии (z), но т-ка z₀ не явл изол нулем ф-ии (z), поскольку в  ее окр имеются другие нули z_k  по Th 1. (z)0 в окр т-ки z₀ тогда все ее коэф Тейлора = 0  в нек круге с центром в z₀ и радиусом = расстоянию от z₀ до ближайшей т-ки границы области D f₁(z)  f₂(z) поскольку (z)  0. Докажем, что f₁(a) = f₂(a) в  т-ке обл D. Соединим z₀ и а кусочно гладкой кривой , целиком леж в D. Пусть 2>0 - кратчайшее расстояние

44.

43.

46. Th 2. Если z =  - полюс кратности n, n1 целой ф-ии f(z), то эта ф-ия есть многочлен n-ой степени.

Док-во:

Т.к. z =  полюс кратности n, то ряд Лорана ф-ии f(z) имеет следующий вид: f(z) = _k=0^(C_-k/Z^k) + C₁Z + C₂Z² +…+C_nZⁿ, C_n  0

Введем обозначения:(z) = f(z)-P_n(z) = _k=0^(C_-k/Z^k); P_n = C₁Z+…+C_nZⁿ - целая ф-ия. (z) - как разность 2х целых ф-ий тоже целая ф-ия. Т.к разложение Лорана ф-ии (z) не содержит главной части, то т-ка z =  является устранимой для (z) и по Th 1:(z) = C₀ = const.

Отсюда следует что: f(z) = (z) + P_n(z) = C₀ + C₁Z+…+C_nZⁿ. n0

45.

48. точек  до границы области D. Опишем вокруг z₀ окружность с радиусом , соглано доказ. заключаем, что во внутр т-ках g₀ этой окружности: f₁(z)  f₂(z). Пусть z₀₁ - первая при движении от z₀ к а по  т-ка пересечения этой окр-ти с кривой , проведем окр с рад , с центром в z₀₁, пусть g₁ - внутр этой окр-ти в  окр т-ки z₀₁ попарно разл точек g₀ в которых f₁(z)  f₂(z)  согласно уже док в круге g₁ всюду f₁(z)  f₂(z), продолжая этот процесс мы в конце концов получаем, что f₁(a)  f₂(a). 

Следствие: Если 2 аналитические ф-ии совпадают на сколь угодно малой области или на сколь угодно малой дуге кривой, то они всюду совпадают в области своего определения.

47. ряд Лорана и рассмотрим главную часть в окресности этого полюса _k(z) = [C_-1^(k)/z-z_k] + [C_-1^(k)/(z-z_k)²] +…+ [C_-k^(k)/(z-z_k)^k]

Для полюса z0= главная часть:₀(z) = C₁z + C₂z² +…+ C_z^. Составим рациональную ф-ию: g(z) = ₀(z) + ₁(z) +…+ _n(z). Вычтим g(z) из f(z): F(z) = f(z) – g(z). Для этой ф-ии т-ки z₁…z_n явл устранимыми особыми т-ками, т.к. для каждой из этих ф-ий отсутствует главная часть ряда Лорана для f(z). Определим знач F(z) в т-ках z₀,z₁…z_n предельными значениями ф-ии F(z) в этих т-ках, тогда ф-ия F(z) станет аналитичной и ограниченной во всей компл пл-ти. По этому по Th(Лиувилля): F(z) = C₀ = const  f(z) = C₀ + g(z) - есть рациональная ф-ия(как сумма рац-х). 

Следствие: Всякую рациональную ф-ию можно представить в виде конечной суммы многочлена и простейших дробей вида: [C_/(z-zk)^] и это представление единственно.

Док-во:

Особыми т-ками рациональной ф-ии на C могут быть только полюсы z₁…z_n и z₀= - возможно. По доказанной Th эта ф-ия единственным образом предст в виде f(z) = C₀ + ₀(z) + ₁(z) +…+ _n(z), где ₀(z) = C₁z + C₂z² +…+ C_z^, а _k(z) = [C_-1^(k)/z-z_k] + [C_-1^(k)/(z-z_k)²] +…+ [C_-k^(k)/(z-z_k)^k] k =1,…n