Шпоры к экзамену / Шпоры / мал49

49.Понятие аналитического продолжения ф-ции.

Опред1. 1)Пусть ф-я f(z) определена на мн-ве E;2) Ф-я F(z) аналитична в обл Д, причем T – часть области Д.3)F(z)≡f(z) в E,тогда ф-ия F(z) наз-ся аналитическим продолжением f(z)

множ-ва Е в области Д

Тh1.(принцип аналитического продолжения)Пусть множ-во Е имеет предельную точку

Z₀ принадлежащую Д,тогда аналитическое продолжение с мн-ва Е на мн-во д единственно.

Д-во:Предположим,что f(t) определённое на Е имеет 2 аналитических продолжения F₁(z) F₂(z) в области Д,F₁(z) ≡F₂(z) для z ЄЕ то по теор. единственности F₁(z) ≡F₂(z) в Д.

Если Е-кривая в Д то сущ-ет не более 1 аналитического продолжения f(z) на Д.

Th2.Пусть f(z) и g(z) целые ф-ии тоесть регулярные или аналитические во всей комплексной плоскости.Тогда f(z)±g(z); f(z)*g(z) f(g(z)) будут также целые ф-ии.

Д-во:Следует из определения целой ф-ии и св-в регулярной ф-ии.

Пример:Аналитическое продолжение f(z)=_n=0∑^∞z^(n) (ряд сходится в круге К: |z|<1)

ф-ия регулярна(аналит)в данном круге=>f(z)=1/[1-z] в К,а F(z) аналитична в Д(Д-регулярная расширенная комплексная

49. плоскость,С с выколотой точкой 1).при |z|<1

f(z)≡F(z)=>F(z)-!аналитическое продолжение ф-ии f(z) с мн-ва К наД.

Аналитическое продолжение экспоненты,тригонометрических и гиперболических ф-ий e^z= _n=0∑^∞[z^n]/[n!] (по опред.)ряд в правой части сходится при всех z => сумма ряда аналитична при всех z.При действит z=x ф-ия e^z совпадает с естественной ф-ией e^z=e^x

(на действительной оси)=>ф-ия e^z-аналитическое прод-ие e^x с действительной оси на комплекную плоскость.Введём ф-ию:sin(z),cos(z),sh(z),ch(z) как суммы степенных рядов:

sin(z)= _n=0∑^∞[(-1)^n]*[(z^(2n+1))/(2n+1)!]; cos(z)= _n=0∑^∞[(-1)^n]*[(z^(2n))/(2n)!];

sh(z)= _n=0∑^∞(z^(2n+1))/(2n+1)!]; ch(z)= _n=0∑^∞(z^(2n))/(2n)!]; т.к .все ряды сход-ся при всех z,

то эти ф-ии целые,они –аналитические продолжения ф-ии sin(x);cos(x);sh(x);ch(x) с действит оси на комплекс. пл-ти.