Шпоры к экзамену / Лекции 2 / Курс лекций 2

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru

Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения.

§1 Аналитические функции

1. Дифференцируемость. Условия Коши-Римана, моногенность.

f(z) – однозначная функция в области DC, w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y), z = x + i y, z = x + iy, w = f = u + iv.

Определение. Моногенность или существование производной в точке. Существует конечный предел.

Замечание: Для существования f(z₀) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности (проколотой) точки z₀ имело место представление

w = A z +  z, ( A = f(z₀) ),  - бесконечно малая.

Теорема. Для того, чтобы однозначная функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y) была моногенной в точке z₀ необходимо, а в случае дифференцируемости u, v и достаточно, выполнения условий Коши-Римана

Необходимость: Возьмём z = x, тогда f(z₀) = u_x +iv_x. Возьмём z = iy, тогда f(z₀) = u_y +iv_y = v_y -i u_y. Сравнивая, получим требуемые соотношения.

Достаточность: В силу дифференцируемости w = u + i v = u_xx + u_yy +|z|+i(v_xx + v_yy) +i|z|= u_xx + u_yy +i(-u_y x + u_x y)+|z|= (u_x -iu_y) x + (u_x -iu_y )iy+|z|=(u_x -iu_y) z+|z||=(u_x -iu_y) z+ z=Az+z.

Замечание 1. Как это следует из доказательства в случае дифференцируемости u и v имеет место равенство

w = u_xx + u_yy +i(-u_y x + u_x y)+z

Замечание 2. Можно показать, что u_xx + u_yy +i(v_xx + v_yy) = . Действительно: x =,y = , x= , y = , f=u_xx+u_yy+ i(v_xx+v_yy)+|z|, f=u(,)+iv(,), поэтому

,

,

Замечание 3. Выполнение равенства и условий Коши-Римана эквивалентно равенству .

Замечание 4. Как видно из предыдущего, если функция f дифференцируема в смысле действительного анализа, то

Фиксируем z=|z| e^i. Производная в этом направлении

существует и зависит от , если . Таким образом у моногенной функции производная не зависит от направления.

2. Голоморфные функции. Аналитичность.

Однозначная функция w=f(z) комплексного переменного, дифференцируемая в некоторой окрестности точки z₀ называется аналитической в точке z₀.

Функция называется голоморфной в области D, если она аналитична в каждой точке области D. Иногда говорят об аналитичности в области.

Так же, как для пределов действительных функций и производных действительных функций доказываются обычные свойства пределов и правил дифференцирования. Например, имеют место следующие свойства:

1. сумма двух аналитичных в точке функций будет аналитичной функцией в этой точке и (f(z) + g(z))=f(z)+g(z)

2. аналогичные свойства для произведения и частного (выписать формулы дифференцирования ), таблица производных.

В частности, многочлены и рациональные функции ( дать вначале определение рациональной или , что то же, дробно рациональной функции ).

3. Сложная функция. Пусть w=g(),=f(z), g аналитична и однозначна в , а f аналитична в D и осуществляет однозначное отображение D в , тогда суперпозиция w=g(f(z)) аналитична в D. Справедливо обычное правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Сумма степенного ряда есть аналитическая функция внутри круга сходимости и в этом круге ряд можно почленно дифференцировать.

Доказательство: Отметим вначале, что

,

для доказательства того, что радиус остаётся тем же

Пусть r=|z₀|, выберем  , удовлетворяющее условию r<<R, где R -радиус сходимости, |z|=|z-z₀|<-r

Степенной ряд сходится абсолютно при z=, поэтому для заданного  >0

:.

Для этого N выбираем  <-r так, чтобы при |z-z₀|< выполнялось неравенство ,

тогда при |z-z₀|< будет выполнено неравенство . Действительно, имеем

<<+< < .

Следствие 1. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в круге сходимости любое число раз.

Следствие 2. Если степенной ряд сходится в круге |z-z₀|<R,R>0 к функции f(z), то Доказательство: дифференцировать нужное число раз и подставить z=z₀.

Определение. Если f(z) имеет производные любого порядка, то ряд называется рядом Тейлора функции f(z). Как это видно из Следствия 2, ряд является рядом Тейлора своей суммы. Из Следствия 2 также следует теорема единственности разложения в степенной ряд:

Теорема. Если два ряда и совпадают в круге |z-z₀|<R,R>0, то a_k=b_k.

Определение. Функция f(z) называется регулярной в точке z₀ если она определена в окрестности точки z₀ и в некоторой окрестности этой точки

Функция называется регулярной в области, если она регулярна в каждой точке этой области.

§2 Конформные отображения

1. Существование обратной функции для аналитической функции в окрестности точки

Пусть f(z) = u(x,y) +iv(x,y) аналитична в точке z₀ и f(z₀)0

w=f(z): в окрестности т. z₀.

Существует обратная функция в некоторой окрестности точки w₀=f(z₀), z=f^-1(w), причём .

2. Геометрический смысл аргумента производной.

Пусть  -гладкая кривая Жордана, заданная уравнением z(t)=x(t)+iy(t),t[,],z’(t)0,t₀(,).Обозначим  образ кривой  при отображении f. Предположим, что f(z) аналитическая в точке z₀ функция и f(z₀)0.

Имеем : w(t)=f[z(t)],w(t₀)=f(z₀)z(t₀) и Arg f(z₀) = arg w(t₀) – arg z(t₀)

arg z(t₀) = , arg w(t₀) =  - главные значения аргументов, Arg f(z₀)  - угол поворота кривой в точке z₀ при отображении w = f(z), определяемой с точностью до 2k. Как видим, этот угол не зависит от выбора кривой, проходящей через данную точку. В частности, если в плоскости z пересекаются две кривые z₁(t), z₂(t), имеющие в точке пересечения главные значения аргументов ₁, ₂, а их образы при отображении w=f(z), соответственно углы ₁, ₂, то мы получим

₂ - ₂ =arg f(z₀)+2k₂, ₁ - ₁ =arg f(z₀)+2k₁, откуда, вычитая одно равенство из другого, получим ₂ - ₁ =2(k₂- k₁)+ ₂ - ₁. Полученное равенство позволяет сформулировать следующее

Следствие: При сделанных предположениях ( аналитичность в точке и неравенство нулю производной ) углы при отображении сохраняются. Кроме того сохраняется «порядок обхода». Например, если поворот от касательной к первой кривой в точке пересечения к касательной второй кривой в плоскости z происходит против часовой стрелки, то тоже самое будет наблюдаться и в плоскости w между образами этих кривых.

3. Геометрический смысл модуля производной.

z=x+iy,w=u+iv

, dw=f(z₀)dz,

Коэффициент растяжения кривой в точке, не зависит от этой кривой и равен |f(z₀)|. Это свойство называется свойством сохранения масштаба в точке z₀.

4. Конформные отображения.

Определение (Конформность в C). Непрерывное, взаимно однозначное отображение w=f(z) области D на область D* называется конформным, если в каждой точке D имеет место

1. свойство сохранения углов

2. сохранение масштабов

в перечисленном выше смысле.

Как мы видели, если f(z) аналитична в точке z₀ и f(z₀), то отображение w=f(z) конформно в некоторой окрестности точки z₀.

Определение. Углом между кривыми z₁(t), z₂(t), в бесконечности ( предполагается, что ) называется угол в 0 между образами этих кривых при отображении w=1/z, то есть между кривыми в т. 0. Изменение масштаба в  находится аналогичным образом, предварительно переведя  в точку 0 отображением w=1/z.

Решение задач с преобразованиеv углов и масштабов при отображении w=f(z)
Задача	Решение
1. z0,f(z0) 	См. f(z0)
2. z0,f(z0) 	См. w1=f(1/w) в точке w0 0
3. z0,f(z0) 	См. в точке z0
4. z0,f(z0) 	См. в точке w0 0

Пример 1. Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и  конформность следует из существования производной и не равенства её нулю.

В точке z=i значение функции w=, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z= значение функции w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить  на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.

Пример 2. Исследовать на конформность в точке z= функцию w=iz-2.

Решение. Во всех точках z производная существует и не равна нулю. При z= , w=, поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены: , и . В итоге, для исследования на конформность имеем функцию . Эта функция в точке =0 имеет производную не равную нулю.

Пример 3: Докажем непосредственно свойство сохранения углов в т. 2i при отображении .

Пусть z₁(t) и z₂(t) выходят из точки 2i. Для первой кривой t₁,₁, для второй t₂,₂. Точка 2i переходит в бесконечность, поэтому будем искать углы между кривыми и в точках ₁, ₂, соответственно. Для этих кривых имеем , поэтому угол между образами w_k в бесконечности будет равен:

Некоторые свойства конформных отображений ( без доказательства )

Свойство сохранения области. Если f(z) аналитична и однолистна (взаимно однозначна) в области D, то f(z)0 в D и f(z) конформно отображает D на D* и f ^-1(w) аналитична в D* ( где D* образ D при отображении f(z)).

Свойство сохранения границ. Пусть D и D* две области, ограниченные замкнутыми кривыми Жордана  D и  D*. Если f(z) отображает D на D* конформно, то она отображает на взаимно однозначно и взаимно непрерывно с сохранением ориентации обхода границы.

Свойство взаимно однозначного соответствия. Пусть D и D* две односвязные области, ограниченные замкнутыми кусочно-гладкими кривыми Жордана D и D* . Если аналитическая в D функция взаимно-однозначно и непрерывно отображает D на D* с сохранением обхода, то эта функция конформно отображает D на D*.

Теорема ( Риман ). Если граница односвязной области DC состоит более, чем из одной точки, то существует аналитическая функция, конформно отображающая D на внутренность круга |z|<1, причём эта функция единственна, если задать условия нормировки ( например, перевести заданную точку z₀ с заданным направление в заданную точку w₀ с заданным направлением.

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru