14. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Интегралы от неограниченных функций

Рассмотрим функцию f(x), определенную на промежутке [a,b), но неограниченную на нем. Для определенности положим, что f(x) ограничена и интегрируема на любом отрезке [a,b-], 0< <b-a, но неограниченна в любой окрестности точки b или на промежутке [b-,b]. В таком случае b называется особой точкой.

DEF

Предел интеграла при 0 называется несобственным интегралом второго рода и обозначается . Если этот предел конечный, то говорят что интеграл существует или сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой на промежутке [a,b), если предела нет или он бесконечен, то говорят что интеграл расходится. Аналогично, если особой является точка х=а, то несобственных интеграл второго рода определяется как Если функция f(x) не ограничена в окрестности некоторой внутренней точки с[a,b], то по определению полагают , где несобственные интегралы второго рода в правой части этого равенства определяются соответственно по формулам предыдущим. Если а и b особые точки, т.е. функция f(x) ограничена и интегрируема на интервале (a,b), то несобственный интеграл второго рода определяется в виде суммы , где с- произвольная точка на (a,b), а несобственные интегралы второго рода в правой части этого равенства определяются соответственно по формулам.

14. Метрические, линейные, нормированные, евклидовы пространства.

Функции многих переменных:

Пусть у=f(x), D(f)=XR, Е(f)=YR

Y=f(x1, x2, … xn) это точки n-мерного Эвклидового пространства

Метрические пространства.

На множестве Х определена фигура метрического пространства, если задана функция (x,y) двух произвольных элементов этого множества, удовлетворяющих следующим аксиомам:

1. (x,y)=0 тогда и только тогда, когда x=y

3. (x,y)(x,z)+(z,y) (неравенство )

(х,y) функция метрики или функция расстояния между точками х и у, принадлежащих Х.

Т.о. метрическое пространство R образует множество Х, с введенной на этом множестве функции расстояния метрического пространства R=(X, ). Если положим, что х=у, то 0(x,z)+(z,y)

Р(x,y) функция метрики или функция расстояния между точками х и у, принадлежащих Х. Т.о. метрическое пространство R образует множество Х, связанной на этом множестве функции расстояния метрического пространства R=(X,р)

Если положим, что х=у, то 0р(xz)+p(z,x)

2p(x,z)>0 метрика не отрицательна

Введем понятие n-мерного координатного пространства Аⁿ

Def M-мерным координатным пространством А^m называется множетсво всевозможных упорядоченных совокупностей m действительных чисел (x1, x2, x3,…, xm)

Каждую упорядоченную совокупность (x1, x2,…,xm) называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой М, при этом числа x1, x2, …,xn называются координатами точки М, что символически записывается так М( x1, x2,…xn)

Чтобы множество Х было метрическим пространством нужно:

Выберем в качестве множества Х n- мерное координатное пространство, возьмем люые х,у принадлежащие этому пространству. Х(х1…хn), y(y1..yn)

Введем функцию расстояния на Х между х и у. Р(х,у)=

Линейное пространство L

Множество элементов L, содержащее хотя бы один элемент, называется линейным или векторным пространством, если выполнены следующие аксиомы:

1. Любые x,y принадлежат L, однозначно определен 3 элемент z, называемый их суммой, обозначаемый z=x+y, причем справедливые следующие свойства:

А) х+у=у+х (ассоциативность)

Б) (х+у)+z=x+(y+z)

В) Существует элемент (его обычно обозначают за 0) такой, что x+0=X

Г) Существует элемент Х, называемый противоположным, такой что x+x’=0

2) Для любого числа  и любого элемента х принадлежащего L определен элемент у из множества L= x при этом справедливы следующие свойства:

(^х)=()^х

(+)х=х+х

(х+у)=х+у

1*x=x

х=х, где  некоторые числа, х и у точка множества L. Если в аксиоме  и  принадлежат множеству вещественных чисел, то множества L называется действительным линейным пространством

Нормированное пространство N

Возьмем функция f(x)=||x||, ставящая каждому элементу х из множества L в соответствие вещественное число x принадлежащее L – называется нормой в линейном пространстве L, если выполнены следующие аксиомы:

1.f(x)=||x||=0 тогда и только тогда, когда х=0

2. f(х)=||*||x||=||*f(x)

3. f(x+y)=||x+y||||x|| +||y||=f(x)+f(y)

Пространство L, сведенное на этом множестве функцией норма X называют нормированным пространством и обозначают через N. ||x||>0

Следует отметить, что в любом норм. Пространстве может быть введена функция расстояния (x,y)=||x*y|| как норма элемента х и у.

Def Координатное пространство Аⁿ называют n- мерным евклидовым пространством, если между двумя любыми точками х(х1, х2, …, хn) и у(у1, у2…уn) введена функция расстояния р(х,у) по формуле р(х,у)=

Обозначается n- мерное Евклидово пространство через Еⁿ

Следует отметить, что в этом пространстве могут быть ||x-y||=p(x,y)